模糊数学 第11期

飞速发展的现代科学技术，使学科既高度分化，又互相渗透；既高度综合，又纵横交叉，派生出许许多多的新学科。这些新学科，就象知识大厦上一扇扇透亮的新窗；又似茫茫学海中一条条新辟的航线。它吸引着广大青年探索者们的无穷志趣。从本期开始，“自学之友”将陆续简介这些知识，供您选择设计自己、造福人类的主攻方向。一—编者

模糊数学，乍听似乎不可思议。因为数学的特点是精确，它怎么能同“模糊”连在一起呢？其实，模糊数学并非是“模糊的数学”，它真实的含义是：用数学方法来研究、处理模糊的事物。这是1965年诞生的一门新学科，十几年来得到了迅速的发展。

从《伊索寓言》谈起

在《伊索寓言》中有这样一则故事。一次，伊索的主人酒醉后狂言，跟人打赌，发誓要喝干大海，并以他的全部财产和奴隶作赌注。次日醒来后，他懊悔莫及。但这一消息已轰动全城，人们早在海边等着他呢。于是主人不得不苦苦求助聪明的伊索，伊索在讲好条件后便给他出了个主意。主人听后如获至宝，急忙飞奔到海边，对蜂拥在那里的人群大声说道：“现在，我要再说一遍，我能喝干整个大海。可是如今千万条江河汇入大海，海水里混杂了许多河水，如果有谁能把河水与海水分开，我就能把真正的大海喝干！”

伊索朴素地应用了模糊语言学，帮助主人渡过了难关。因为，“海水”是个模糊概念，我们虽然经常使用这个词，但给它下个定义，却往往会漏洞百出。同样，在“水果”和“蔬菜”之间，“春、夏、秋、冬”四季之间，也都没有一条截然分明的界线。我们生活中还有许多模糊的说法，如明暗、深浅、冷暖、宽窄、快慢、浓淡、高矮等等。

模糊事物反映在人的思维中，就产生了模糊逻辑。在模糊逻辑中，判断一个命题的真假时，不仅可以用“是”（记作1）或“非”（记作0）来回答，还可以用介于0与1之间的小数来回答。所以，它是一种连续值逻辑。

模糊并非罪过

一般认为“模糊”是个贬意词，它的名声的确也“坏”过。在生产力十分低下的原始社会，人们只能勉强维持生存，那时，用不着什么数学计算，是个混沌模糊的世界。但随着生产力的不断提高，产生了剩余产品和商品交换，于是，人们开始用手指头、小石子计数，渐渐形成了自然数的概念。以自然数为起点，数学便开始了它的光辉历程，终于赢得了“科学皇冠”的美名。可见，模糊曾作为精确的对立面，代表了落后的生产力，它有一段不光彩的历史。但是，随着电子计算机的发展，为了进一步提高自动化程度和计算机的活性，人们开始研究人脑和电脑的异同。人脑善于判别与处理不精确的、非定量性的模糊事物，从中得出具有一定精度的结论。正因为人脑具备这种能力，才使我们可辨认潦草的笔迹，理解不完整的或不合常规的语句，即使在不确定的、多变的情况下，仍能作出正确的决策。被誉为“电子计算机之父”的冯·诺依曼说过，人脑是这样一台计算机，虽然它的精确度极低，只相当于十进制数字的二到三位，可是它的工作十分可靠，效率极高。譬如我们要判别面前走过来的是谁，只须将来人的高矮、胖瘦、走路姿势等与大脑中储存的

样本进行比较，就可得出足够正确的结论。可是，要让计算机来做这件事，那就得大动干戈，不仅要测量来人的身高、体重、手臂摆动角度、频率、速度、加速度等一大批数据，而且非得精确到小数点后几十位才肯罢休。这样繁琐，已使精确走向反面。这里充满了活的辩证法：精确兮 ，模糊所伏；模糊兮，精确所依。只有人脑才能使两者很好地统一起来，恰到好处。这种本领是电子计算机所望“人”莫及的。冯·诺依曼认为，世界上还没有一台象人脑这样的计算机。因此，模糊决不是一种罪过，恰恰相反，它是大自然对人类的一种恩赐。模糊方法始终在人脑中悄悄地起作用，推动着人类社会向前发展。

于是，模糊数学诞生了。模糊数学着重解决两个方面的问题：一是为复杂系统——尤其是那些经典数学的，如人文科学——提供新的数学工具；二是使计算机能效仿人脑对复杂系统进行识别与判断，提高自动化水平。

模糊事物的数学描述一一模糊集合

现代数学的基础是集合论，模糊数学也建立在集合论的基础上。美国学者查德1965年发表的模糊数学的第一篇论文，题目就是“模糊集合”。

不管按什么特征、依什么规律结合起来的事物的总体，都叫做集合。例如，“桌子上的东西”、“太阳系里的行星”、“车厢里的乘客”等，都可以构成一个集合。构成集合的个体叫做元素。在普通集合论中，一事物（元素）或者属于某集合，或者不属于某集合，两者必居其一。就是说，这种集合的边界是能够明确划分的，如“男同学”、“数学不及格的学生”等，都是普通集合。然而，象“胖子”、“年轻人”、“高个子”这一类集合就具有完全不同的性质，一个人是否属于这一类集合，就无法作出明确的回答。这种边界不清晰的集合就是模糊集合，人们称它为“软集合”；与此相对应，边界清晰的普通集合就称硬集合。

既然在模糊集合中，一个元素是否属于某集合，不能作绝对肯定或否定的回答，我们就要用一个数来表示它属于某集合的“程度”。前面我们曾把“是”记作1，“非”记作0，因此，从属程度就可以在0到1之间连续取值。从属程度是模糊数学中最基本、最活跃的要素。所谓模糊集合的运算，不是一般的数字运算，而是对在0与1之间取值的从属程度，进行特殊的模糊运算。

例：其一小组甲、乙、丙、丁四人属于“胖子”这一模糊集合的从属程度，分别为0．1、0．5、0.7、

1，这表示乙为“半胖”，只有丁才是真正的胖子。这一模糊集合可表示为：｛胖子｝＝0．1／甲+0．5／乙+0.7／丙+1／丁。

式中借用加号来表示并列，并无相加之意；每项分式的分子表示从属程度，分母表示元素的名称。试与同一范围内的普通集合相比： ｛男生｝＝0／甲+1／乙+1／丙+1／丁； ｛女生｝＝1／甲+0／乙+0／丙+0／丁。

可见四人中只有甲为女生。从中不难看出，普通集合只是模糊集合的特例（从属程度等于0或1）；而模糊集合是普通集合的自然拓广，模糊集合是更高、更一般的集合。

在模糊数学中，确定从属程度是一种艺术。它可以根据经验或统计规律给出，也可以由某个权威确定，因此，带有主观性和相对性。例如：查德给出的模糊集合“老人”的从属程度为：

(此处略,详见原版面)

式中y表示年龄。当y≤50（岁）时，其从属程度为0，所以都不属于“老人”集合；当y＝55（岁）时，代入上式可得0．5，即55岁的人为“半老”；y＝60（岁）时，其从属程度为0．8，即60岁的人为“0．8老”，……此类推。

模糊数学前途无量

由于当代的科学技术既高度分化又高度结合，庞大的科学体系已成为多层次多序列的立体结构。科学学的研究表明，现代科学已从对事物的研究发展到对系统的研究，从单一数值的研究发展到多种数值的研究，从静态的研究发展到动态的研究，从纵向的研究发展到横向的研究。模糊数学所具备的种种特点，决定了它必将成为研究复杂系统的一种有力工具。它已在经典数学与充满了模糊性的现实世界之间，架起了一座桥梁。目前，模糊数学的应用已涉及聚类分析、图象识别、工厂控制、机械故障诊断、系统评价、数据结构、信息检索、机器人、人工智能、逻辑等许多方面。如在环境保护中对环境单元按污染程度进行分类，在良种培育中，对亲本作物分类。这恰似：

“一线阳光穿云出，愈见姣妍。

人间的万象真理，愈求愈模糊；

——模糊中偶然见着一点光明，真愈觉姣妍。”

青年时代追求光明的这首诗所阐明的哲理，不也是对模糊数学的最好注解！