概念教学要“内外兼修”的探讨

数学中的概念由表象和定义两个维度组成，前者是概念的外在特性，是交流过程中的基本要素;而后者是概念的内在本质，是思维的重要属性。学生对于概念的掌握必须要从这两个方面入手，缺其一都没有真正把握概念的本质要义。

一、触摸表象和定义，感知概念

小学阶段，学生的认知思维以直观形象思维为主，因此在设计概念认知的教学中，教师会选择直观性较强的物质作为概念的原型，将概念所含有的各种属性融合在实物中，便于学生对概念特征的体验感知，从而形成直观的感性体验。

例如在教学“认识角”时，教师出示了各种含有“角”的实物，如课本、三角板、香烟盒等，让学生通过实物指认“角”在哪里。在学生体认的基础上，教师再次引导回归自身生活，还有哪些事物含有“角”，学生从门框、黑板上指出了“角”的所在。

教师所呈现的生活实物凸显了“角”的一般特征，学生也在观察指认的过程中形成了“角”的感性体验，从而在感性材料与“角”的表象及定义中形成了认知关联。但在此时，学生对“角”的认知体验仍旧停留在表象的初始级别，尚未形成抽象提炼的概括性认知。而之后的教学环节，应该从学生初步感知逐渐向丰盈表象、提炼表象、反思表象进步，直至形成定义认知。

二、揭示属性和特征，体验概念

概念的认知不能止步于表象层面，为了进一步理清概念的本质内涵，尤其是从直观的表象层面脱颖而出，教师应该充分运用以上教学环节中已经形成的表象基础，引导学生从不同的视角、不同的维度对概念的本质内涵、特性特征进行探寻和思考，促进学生对概念的体验形成根本性的嬗变。

与上一环节中教师依据生活中的具体事物引导学生寻找“角”不同，在本环节中教师出示了各种不同的图形，学生有了借助实物探寻“角”的体验，在图形中寻找已经不再是难事。当学生在不同的图形中寻找到许多的“角”后，教师则顺势将各种图形中不同类型的“角”从图形中剥离开来，形成了独立的“角”的图形。接着，教师引导学生从“角”构成图形入手，让学生通过观察形成“角”的各种名称。

至此，学生经历实物“角”、图形找“角”、独立找“角”的历程，这样的思维轨迹体现了层次的差异性：在实物和图形中找“角”始终只处于“角”直观认知层面，无法对“角”的真正内涵形成体验认知，唯有在“角”的独自呈现中，学生才真正从本质感知了“角”的价值和内涵，并在言语的表述中实现对“角”的本质属性的阐释。

三、修正和完善表象，定义概念

通过以上环节的教学，学生可能对角的认知尚滞留于原始的认知体验，即认为角是尖尖的，它们都是正方形、四边形的一部分，显然这样的认知离“角”的真正属于还有很大的距离。之所以形成这样的认知主要源于两方面原因：一是不同事物中角的表象会呈现出不同的状态，而角的定义却是恒定的;二是表现自身呈现相对的独立性，造成学生认知的偏差甚至是残缺也就不足为奇。这就要求教师要善于从众多类型的“角”的表象入手，提炼抽象出相关定义，给学生形成准确清晰的表象认知，从而促进学生对定义的认知进行准确辨析，取得更加完善的认知。

基于以上教学环节，教师从图形中剥离出“角”，并让学生通过对实物中“角”的触摸，感知角的真实性，接着引导学生通过观察指导角由一个顶点和两条直线边构成，然后教师引导学生借助直尺和铅笔画出“角”，促进内在的感性认知，并通过绒线、吸管等事物做出各种“角”。通过以上环节的实施，学生对角已经形成了较为深刻的完美认知，形成了清晰的表象体验。

四、阐述和丰富定义，运用概念

各种概念认知的最终归属都要设置在运用环节中。而这种运用概念可以分为两种形态：其一，由具体到抽象的自然过渡;其二，由抽象到具体的反哺回归。一般情况下，则是运用概念去印证具体形象的感知材料，即以运用概念的本质特征去辨析、判断具体感性材料的属性特征。然而，此时出现的感知材料与前期教学使用的材料有着巨大的差别，则需要再次追溯到“具体到抽象”的思维路径中来。由此可见，在教学实践中运用具有较强感染因素的材料则更加有利于学生所学知识的内化。

例如在教学最后，教师出示了一道概念认知变式的题型：出示大小相同的两个角，其中一个角的边加长，让学生辨别边的大小。教师通过将长边缩短、短边延长的变化，引导学生观察无论边怎么变化，而其角始终不变，让学生清晰地知道角的大小与两条边的长短无关，而与角张开的大小息息相关，从而在丰富对角度的认知后，再从角的有关变量和无关变量入手，真正将学生从原始的直观表象“提领而顿”，形成更为理性的认知效果。

在这个过程中，教师以概念阐述了定义，并借机深化了定义认知，使学生对角的认知也就积累为丰富的认知体验。

总之，概念的教学要做到表象与定义的两者融合，才能促发学生认知结构、知识体系不断完善，并在操作感知、言语表达的过程中促发理解的不断深入。

（江苏省高邮市第一实验小学）