例说极限思想在数学解题中的妙用

极限思想是高中数学中的一种重要数学思想，在解题中切不可忽视其应用.对于某些数学问题，若能灵活运用极限思想，从其极端情形入手，就可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题的难度，还可以优化解题的思路，收到事半功倍的效果.下面举例说明，极限思想在解题中的妙用.

一、妙用极限思想求解数量变化范围

例1若α∈[π6，π2），则直线2xcosα+3y+1=0的倾斜角的取值范围是

A.[π6，π2）B.[5π6，π）C.（0，π6]D.（π2，5π6]

解析因为斜率k=-23cosα，又α∈[π6，π2），所以当απ2时，cosα0，k0（从负值趋于零），所以倾斜角π，因此选B.

一、妙用极限思想求解估算问题

例1如图1三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且侧面A1B1BA底面A1B1C1，P为棱B1B上一动点（不与点B1、B重合），则直线C1P与平面A1B1BA所成角的范围是

A.（0，π6）B.（π6，π3）

C.（π6，π4）D.（π4，π2）

解析用极限估算.取A1B1中点D，连C1D，则∠C1PD为直线C1P与平面A1B1BA所成角.因为C1D为常数，所以只要确定PD的变化范围.

当PB1时，

∠C1PD∠C1B1D=π3，且∠C1PD

当PB时，则∠C1PD∠C1BD，且∠C1PD>∠C1BD.

而在RtCBD中，∠C1DB=90°，

C1D=32a，BD=52a，

tan∠CBD=C1DBD=35>33=tanπ6，

即∠C1BD>π6.所以π6

二、妙用极限思想求解探索性问题

例2已知数列{an}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有an+1=anan-2，是否存在实数a，b，使得an=a-b（-23）n对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.

解析如果存在实数a，b满足题设要求，

则由an=a-b（-23）n，可得limn∞an=a.

对an+1=anan-2两边取极限，得a=aa-2，

所以a=0或a=3.

若a=0，则数列{an}是以1为首项，公比为-23的等比数列，显然，不可能对于任意正整数n都满足an+1=anan-2；

若a=3，将a1=1代入an=a-b（-23）n，可得b=-3，

此时，an=3+3×（-23）n，所以a2=133，这与a2=-1矛盾.所以满足题设条件的实数a，b不存在.

三、妙用极限思想求解曲线方程

例3求离心率e=25，过（1，0）点且与直线l：2x-y+3=0相切于点P（-23，53），长轴平行于y轴的椭圆方程.

解析按常规，设椭圆中心为（x0，y0），可得椭圆的方程，再列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程.但按极限思想，将点P视为椭圆的极限情形，可利用曲线系方程求解.

已知e=25，则a2=5b2.把点P（-23，53）看作长轴平行于y轴且离心率e=25的椭圆系

（x+23）2+15（y-53）2=k，

当k0时的极限情形（点椭圆）.

则与直线l：2x-y+3=0相切于该点的椭圆系，即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程

（x+23）2+15（y-53）2+λ（2x-y+3）=0.

又因为所求椭圆过（1，0）点，代入求得λ=-23.

因此所求椭圆方程为x2+y25=1.

四、妙用极限思想画出函数图象

例4已知f（x）=xx2+1，试画出图象，并结合图象指出其值域.

解析先研究其奇偶性与单调性，再画出图象.

因为f（x）=xx2+1，所以定义域为R且为奇函数，

又f ′（x）=1-x2x2+1，所以f（x）在（-∞，-1]上递减，[-1，1]上递增，[1，+∞）上递减，且有极小值f（-1）=-12，极大值f（1）=12，画图时很可能画成图2而出错，得出值域为R，它是很好的满足了单调性与奇偶性，但还不够，图象有问题.

问题在哪儿呢？

因为limx-∞f（x）=0（即x

limx+∞f（x）=0（即x>0，f（x）>0），

所以图形应该为图3，x轴变成了渐近线.

所以值域为[-12，12].

总之，恰当运用极限思想，抓住问题的极端情形解题，不仅使复杂问题的解决简单化，而且也有利于培养学生的创造性思维及探究能力.