Stolz定理在求极限中的应用

摘要： 本文阐述了Stolz定理及其推广，给出了Stolz定理及其推广在求数列和函数不定式极限中的应用。

Abstract： This paper intends to probe into the Stolz theorem and its generalization. Based on this， how to calculate limits of Sequences and Functions by using these theorems is further explained.

关键词： 极限；Stolz定理；应用

Key words： limits；Stolz Theorem；application

中图分类号：O717 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）26-0279-02

0 引言

随着我们对极限知识进一步理解，在解题中选取的方法不同，会收到不同的效果。在求解极限问题时，有很多方法和技巧，比如：①迫敛法则；②单调有界原理；③重要极限；④Cauchy收敛准则等等。这些都是我们熟知的方法。本文另外介绍一种典型的求数列和函数不定式的极限方法。

1 Stolz定理及其应用

1.1 Stolz定理

定理1[3] （■Stolz公式） 设数列{an}，{bn}，其中{bn}严格单调递增，且■b■=+∞，如果■■=a+∞-∞，

则■■=a+∞-∞.

定理2[3] （■Stolz公式） 设数列{an}，{bn}严格单调递减，且■a■=■b■=0，如果■■=a，则■■=a.

利用上述两个定理，可以得到如下推论。

推论1 设■x■=a，则1）■■=a；

2）■■=a（xi>0）.

推论2 设x■>0，若■■=a，则■■=a.

证明：令x■=1，作新序列x■■=■，x■■=■，…，x■■=■，…，则■=■.由条件■x■■=a，故由推论1中2）得■■=a.

1.2 Stolz定理的应用 下面利用Stolz定理给出了一种求离散的待定型■的极限方法，参见文献[1][2]。

例1 求■■.

解：由Stolz定理推论2■■=1得：

■■=■■=1.

例2 设u■>0，■■=h.证明■■■=■.

证明：首先由Stolz定理推论2知：■（u■）■=h

令x■=■，则lnx■=■

由Stolz定理1得：

■lnx■=■■=■■=ln■

■x■=■，即■■■=■.

例3 设■x■=a，

i）若a为有限数，证明：■■=■；

ii）若a为+∞，证明■■=+∞.

证明：令bn=x■+2x■+…+nx■，yn=n（n+1）.

i）因为■■=■■=■■=■

由Stolz定理1得：

■■=■■=■■=■.

ii）由于Stolz定理对■■=∞也成立，

所以■■=■■=■■=+∞.

例4 （1） 设0

证明：i） ■x■=0；ii）■nx■=1.

（2）已知■a■收敛，{p■}为单调增加的正序列，且

■p■=+∞，p■≠p■（n=1，2，…），求证：

■■=0.

证明：（1） i）由0

所以■=1-x■

即{x■}单调递减，且{x■}有下界，因此■x■=k（存在） 即：k=k（1-k），所以k2=0，k=0.即■x■=0.

ii）■nx■=■■

由Stolz定理1得，■nx■=■■=■■=■■=■（1-x■）=1.

（2） 令s■=■a■，由已知可得=■s■=s（存在）

■=■

=■

=■+s■

由Stolz定理1得：

■■

■■=■（-s■）=-s

即 ■■

=■[■+s■]=s-s=0

2 Stolz定理的推广及其应用

2.1 Stolz定理的推广

定理3 （■型）设T>0且为常数，若①g（x+T）>g（x），？坌x？叟a；②g（x）+∞（当x+∞时），且f，g在[a，+∞）内闭有界；③■■=k （其中k为有限数，或+∞，或-∞）；则■■=k.

定理4 （■型）设T>0且满足①0

2.2 Stolz定理的推广的应用

例5 f（x）定义在[a，+∞）内，且在每个有穷区间[a，b）内有界，则■[f（x）]■=■■（f（x）>0）.

证明：取g（x）=x，令F（x）=lnf（x），由定理3得：

■ln[f（x）]■=■■=■ln■，

故 ■[f（x）]■=■■.

例6 f（x）在[a，+∞）上有定义，内闭有界，

■■=k，（其中k为有限数，或+∞，或-∞），则■■=■.

证明：令g（x）=x■，则？坌x？叟a，有g（x+1）>g（x）

■g（x）=■x■=+∞，f，g在[a，+∞）上有定义，内闭有界。■■=■■

=■■

=■■

且■■=k

由定理3得■■=■■=■（且k为有限数，或+∞，或-∞）

例7 若f在[a，+∞）上有定义，内闭有界，则

1）■■=■[f（x+1）-f（x）]；2） ■[f（x）]■=■■.其中f（x）？叟0，当右极限存在时成立。

证明：1） 令g（x）=x，？坌x∈[a，+∞），有g（x+1）=x+1，且g（x+1）？叟g（x）， ■g（x）=■x=+∞，且f，g在[a，+∞）上有定义，内闭有界，■■=■[f（x+1）-f（x）]；

由定理3得■■=■[f（x+1）-f（x）].

2） 令g（x）=x，F（x）=ln[f（x）]，（f（x）？叟c>0）

■■=■■=■{ln[f（x+1）]-ln[f（x）]}=■ln■=ln■■

而■■=■■=■ln[f（x）]■=ln■[f（x）]■

由定理3得■[f（x）]■=■■.

参考文献：

[1]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局出版社，2003.

[2]吉米多维齐.数学分析习题集解题[M].山东：山东科学技术出版，2004.

[3]华东师大数学系编.数学分析（上）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.