初中三类函数平移变换共性的探究

[摘要] 函数的平移的本质是点的平移。通过对点的平移的分析，可以得到解决所有初中阶段函数平移问题的方法。

[关键词] 初中阶段函数平移本质

前不久，笔者刚刚对所教学生进行了初三函数部分内容的复习教学。发现许多学生对函数的平移练习的解法比较繁琐，比如在二次函数的平移中，就记得“上下平移在K,上加下减；左右平移在M，左加右减”，在碰到函数一般式的平移时，都先转化为顶点式，再用口诀解决平移问题，先出新的解析式，再转化为一般式回答问题。其过程繁琐，耗费时间长，并且有的步骤较多，运算量比较大，容易出错，速度也不快。

一、理解函数平移问题的本质

要理解函数平移问题的本质，首先是要理解什么是函数。浙教版义务教育课程标准实验教科书八上第145页是这样定义的：“一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。”由此可以看出在一个确定函数关系的函数里，自变量的确定导致了函数值的确定。

从定义上看，函数平移问题，实际是原函数和目标函数根据平移的要求进行的适当变更，即当自变量确定时，目标函数的函数值按平移的要求在原函数值的基础上进行调整，或函数值确定时，目标函数的自变量值按平移的要求在原函数的自变量值的基础上进行调整。

函数的图像是由无数的点组成的，所以函数图像的平移，可以体现在一个点的平移上。

1.有一个函数，把它向上平移一个单位，求目标函数

我们可以简单的理解为：如果原函数经过（a,b）,那么目标函数就是经过了（a,b+1）,即目标函数的函数值是在原函数值的基础上加1。即：上加下减在函数值。

【例1】y＝x2－3x＋2向上做平移1个单位，求新的函数。

分析：函数平移就是点的平移，上下平移，意味着自变量不变，函数值发生变化。所以例1中目标函数y，由原来的x2－3x＋2变为x2－3x＋2+1，即新函数为y=x2－3x＋3。

2.有一个函数，把它向左平移2个单位，求目标函数

我们可以简单地理解为：如果原函数经过（a,b）,那么目标函数就是经过了（a-2,b）,即目标函数的自变量值需要加上2才能和原函数的自变量值相等。即：左加右减在自变量值。

【例2】y＝x2－3x＋2向左做平移1个单位，求新的函数。

分析：函数平移就是点的平移，左右平移，意味着函数值不变，自变量的值发生变化。例2中的目标函数中自变量的值，由于向左平移了一个单位，变小了1，所以需要加上1才能和原函数的函数值相等。即目标函数的自变量由原来的x变为x+1，所以新的目标函数为y=（x +1）2－3（x +1）＋2＝x2－x

由上述分析可知，函数平移问题的本质，就是点的平移，具体的方法就是：上加下减在函数值，左加右减在自变量值。

二、函数平移本质在初中函数具体问题中的运用

【例3】把一次函数y＝－3x＋2先向上平移4个单位，再向左平移2个单位，求新函数解析式。

分析：把函数先向上平移4个单位，根据上加下减在函数值，在原解析式的后面加上4；把函数向左平移2个单位，根据左加右减在自变量值，把原解析式中的x改为x+2即可。

解：新函数解析式为：y＝－3（x+2）＋2+4=-3x

【例4】反比例函数y=向上平移2个单位，再向右平移5个单位，求新的函数。

分析：把函数先向上平移2个单位，根据上加下减在函数值，在原解析式的后面加上2；把函数向右平移5个单位，根据左加右减在自变量值，把原解析式中的x改为x-5即可。

解：新的解析式为y=+2。

三、函数平移本质问题在基本函数中的推广

从函数的定义中可以知道，函数平移的本质是点的移动，即函数中的函数值或自变量值确定时，相应的自变量值和函数值按照平移的要求，在原函数的基础上进行符合要求的调整。总的规律是：上加下减在函数值，左加右减在自变量值。这一规律不仅仅在初中阶段的一次函数、反比例函数和二次函数上可以运用，也可以对其他基本函数的平移问题进行运用。

【例5】把指数函数y＝2x+1先向左平移2个单位，再向上平移一个单位，求新的函数解析式。

分析：把函数先先向左平移2个单位，根据左加右减在自变量值，把原解析式里的x+1变为x+1+2,即x+3；把函数向上平移一个单位，根据上加下减在函数值，把在原解析式的后面加上1即可。

解：新的解析式为：y＝2x+1+2+1，即y＝2x+3+1。

在函数相关知识的复习教学中，笔者通过对函数平移问题的本质的探究和分析，使学生理解了函数平移的本质，掌握了函数平移的技巧，在复习阶段的相关练习中大大加快了解题速度，提高了正确率，从而达到了减负增效的目的，而且为解决以后接触的其他基本函数的平移问题提供了思路和方法。

（作者单位：浙江省金华市婺城区罗埠初中）