浅谈构造模型法在高中计数原理中的应用

高中计数原理和排列组合中的习题种类繁多，结构错综复杂、解题方法更是层出不穷，千变万化.计数原理难，难就难在没有一个固定的，不变的统一的模式.这就对相当多的高中学生的学习产生一定的困恼，他们经常在面对计数原理和排列组合问题时感觉到无从下手.尽管如此，对有些类型的习题，我们只要认真观察，分析题型结构，或只须稍加变形，便可把它纳入到一个模型，从而使问题得到解决.这种方法称为构造模型法.

高中学生在面对新问题时，首先是回顾自己和老师讲解过的类似的旧问题的解决方法，其目的是企图从中寻求参照物，然后对其进行模仿试验，从而使得新问题获得解决.这种思维活动，美国数学教育家G.波利亚在《怎样解题？》一书中曾有过精辟的论述，他就指出：“解题，比如，就好像游泳一样，是一种技能.当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践（实地练习游泳）来学会游泳.试图解题时，你必须观察并模仿其他人在解题时的所作所为，并且最后通过实践学会解题.”构造模型法是人们的一种科学思维活动，是一种在“变”中求“不变”的思考方法.在解题过程中，当你为一个难题苦思冥想时，不妨对自己提出此题是否可以经过适当变形，进行类比、归纳，把问题转化为某种题型模式呢？综合新旧知识，把握住知识内在联系，广泛联想一旦发现某种模式，问题便迎刃而解.因此，我们在教学过程中，特别是在解题过程中，应特别强调常规模型的构造和应用模型.

计数原理和排列组合是高中数学中相对独立性较强的一部分，也是密切联系实际应用性较强的部分.其思考方法和解题技巧都有些特殊性.具备概念性强、灵活性强、思维方法新颖等特点.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决生活、生产及科学研究中计数问题的理论依据，这里不再具体说明.下面我将把十几年高中数学教学中总结的计数原理和排列组合的常规模型进行一一说明，希望能对其他教师的教学和学生的学习有所帮助.

模型1 映射问题

例1 已知集合{}Aa b c=，，，{1 2 3 4}B =，，，，那么集合A到集合B的映射有几种？

碰到这种两类元素对应问题，我们应选择其对应元素为只有唯一选择的元素为研究对象.在例1中，集合A中的元素在集合B中有且只有一个元素与其对应，而集合B中的元素在集合A中可能有多种选择.所以，为了研究方便，我们应选择集合A中的元素作为研究对象.对于a而言有4种对应，对于b而言有4种对应，对于c而言有4种对应.所以集合A到集合B的映射有4×4×4=64种.

在解决这类问题时，步骤为：①先进行正品、次品等性质的分类.②确定抽出产品中的正品数和次品数.③按正品从正品中抽，次品从次品中抽的原则进行分类分步分析.

这六个模型，我都是遵循从“特殊一般特殊”的原则，先具体事例分析，再从中抽取这类问题的核心要素，建立通用模型，理清模型的结构特点，再来指导具体案例.通过上面的几个模型可以看出，构造模型法就是将一类问题中一些共性的东西通过类比、归纳，把问题转化为某种题型模式，从而使问题得到解决的方法.我们应用构造模型法解决计数原理和排列组合中的问题还有很多，这里就不再一一列举了.

在最后，我们必须强调指出：应用构造模型法解题的关键在于建立模型和应用模型.使学生不仅能够根据老师分析出的模型而模仿着解决某些类似问题，而且还能模仿老师分析出模型而自行构造模型，用来解决某些类似的问题.这样就使模仿能力产生了一个飞跃，把初级模仿上升为高级模仿.因而也就有了创造性.另一方面，解题是一种技能，作为一种技能，单凭模仿还是不够的，必须还要亲自反复实践多次，这样才能真正学到手.因此，在教学过程中，在解题过程中，教师应经常有目的、有计划、有步骤的对学生进行训练，达到从模仿到创造的境界.

参考文献

[1]郑毓信.数学方法论.广西：广西教育出版社，2000[2][美]波利亚.怎样解题.北京：科学出版社，1982