图形运动中的函数问题赏析

最近几年的中考试卷中，出现了这样一类综合性很强的压轴题：就是在几何图形中，通过点、线段或者是几何图形的运动，引发出运动时间与线段、运动时间与图形的面积或者是线段与线段、线段与图形之间的函数关系。这类问题的一般要求是：确定两个变量之间的函数关系式，并要求写出自变量的取值范围，或者是求几何图形面积的最（大或小）值。这类问题涉及的知识面广，解法灵活，不仅注重基础知识的考查，更注重对数学方法和应用能力的考查。下面就从近年的中考试卷中选取几例进行赏析。

例1 （吉林省） 如图1，在边长为8 cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1cm/s的速度运动，过E作EH垂直AC交RtACD的直角边于H，过F作FG垂直AC交RtACD的直角边于G，连结HG、EB，设HE、EF、FG、GH围成的图形的面积为S1，AE、EB、BA围成的图形的面积为S2（这里规定：线段的面积为0），E到达C，F到达A停止，若E的运动时间为x秒，解答下列问题：

（1）当0

（2）①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；②求y的最大值。

解：（1） 以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形。

AD=DC=8 ，在RtACD中，由勾股定理得AC=16.

当点E运动x秒时，AE=CF=x，EF=16-2x，而AE=EH=x.

S1=x（16-x）=-2x2+16x.

作EMAB于M，如图1所示，在RtAME中，由∠MEA=45°得EM= x.

S2= ×8 × x=4x，由S1=S2得-2x2+16x=4x，得x1=0（舍去），x2=6，所以x=6时S1=S2.

（1）①当0≤x

当8≤x≤16时，如题2所示，此时AE=x，CE=EH=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16.

S1=（16-x）（2x-16），y=S1+S2=（16-x）（2x-16）+4x=-2x2+52x-156.

②当0≤x

当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-156=-（x-13）2+82，当x=13时，y最大值=82.

综上所述，y有最大值为82.

评注：本例是通过点的运动引发出时间与图形面积之间的函数关系.这类问题的一般特点是几何问题代数解法，是对代数、几何知识与能力的综合考查.解这类问题的关键是明确点运动的方向、速度和路程，用含有时间变量的代数式表示相关的量（如线段的长度，图形的面积等），再根据题目的要求，列方程或函数关系解决问题.

例2 （东营市） 如图3，在锐角三角形ABC中，ABC的面积为48，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；

（2）设DE=x，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求y的最大值.

解：（1） 当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图4，过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.

SABC=48，BC=12，AM=8.

DE∥BC，ADE∽ABC， ，而AN=AM-MN=AM-DE.

，解之得DE=4.8.

当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.

（2）分两种情况：

①当正方形DEFG在ABC内部时，如图3，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积.

DE=x，y=x2，此时x的取值范围是0

②当正方形DEFG的一部分在ABC的外部时，如图5，设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，ABC的高AM交DE于N.

DE=x，DE∥BC，ADE∽ABC， .

而AN=AM-MN=AM-EP， ，解得EP=8- x.y=x（8- x）=- x2+8x，此时x的取值范围是4.8

综上所述，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y= .

当0

因为24>23.04，所以ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.

评析：本例是通过线段的运动引发出线段与几何图形面积之间的函数关系，重点是第（2）问，难点是第（2）问的第②情况.突破这一难点的关键是用含变线段DE（即x）表示线段EP（即MN），本问是通过相似三角形及其性质来实现的.解这类问题要周密思考，不能漏掉任何一种情况，同时还要搞清动线段的运动范围，即自变量的取值范围.

例3 （烟台市） 如图6，ABC中，AB=AC，BC=6，点D为BC的中点，连结AD，AD=4，AN是ABC外角∠CAM的平分线，CEAN，垂足为E.

（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由；

（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设平移时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A1D1C1E1与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围.

解：（1）AB=AC，D为BC的中点，ADBC，∠BAD=∠CAD.

又AE评分∠CAM，∠MAE=∠CAE，∠DAE=∠DAC+∠CAE= ×180°=90°，∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°，四边形ADCE是矩形.

（2）平移过程中有两种不同情况：

①当0≤t

设C1E1与AC交于点P，A1D1与AB交于点Q.A1E1∥BC，CC1P∽AE1P∽AA1Q.

.

A1E1=3，AE1=3-t，AA1=t，E1P= AE1= （3-t），A1Q= AA1= t.

S=S矩形A1D1C1E1-SAA1Q-SAE1P=3×4- AA1·A1Q - AE1·E1P=12- t· t- （3-t）· （3-t）=- t2+4t+6.

②当3≤t≤6时，重叠部分为三角形，如图8所示.

设AB与C1E1交于点R，C1E1∥AD，BC1R∽BDA，C1R/BC1=AD/BD=4/3.

BC1=6-t，C1R= BC1= （6-t）.

S=SBC1R= BC1·C1R= （6-t）× （6-t）= .

综上所述，S关于t的函数表达式为S= .

评析：本例是通过矩形ADCE的运动，引发出时间与图形面积之间的函数关系，在解本例时要充分考虑到，当矩形ADCE按要求运动时，该矩形与ABC重叠部分的图形的变化情况，只有掌握了重叠部分是什么几何图形，求解时才能有的放矢。至于图形的面积，可用各种几何图形的面积公式求解，或者通过图形面积的加减来达到解题的目的。