注重知识生成 教会学生举一反三

摘 要：学生数学练习的指导经常性的会陷入如一种事倍功半的效果，本文立足于课堂教学过程，从教学不同层次阐述了练习指导的一些做法和思考，打破以往就练习谈练习僵化思维，追根朔源发人深思。

关键词：知识生成过程；数学概念；思维转换；举一反三

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）33-068-01

数学教学中，我常常因为无法打开学生的思路而苦恼。书上的练习学生大部分都会计算，但是你一但将其放在试卷中或者稍作变换时，学生往往一片茫然，不是做错就是不会。我也曾将这一现象戏称为“不良反应”，究其实，产生这一现象的原因有：学生对考试的恐惧心理造成的思维停滞和知识盲区；学习过于死板，应变能力不强；所学知识没有融会贯通，缺乏自信。基于上面的分析，在课堂练习中，我将变式练习作为学生训练的重点，从基本概念中展开，教会学生举一反三，逐类旁通。

在圆柱表面积和体积、圆锥体积的计算练习中，我曾进行过如下的尝试：

一、从圆柱与圆锥的形成入手，强化数学概念理解：

“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形运动后的图形，了解确定物置的一些基本方法；掌握测量、识图和画图的基本方法。”

在圆柱概念形成的过程中，学生知道以长方形的一边为轴，旋转一周，便形成了一个圆柱。教学中，我以此出发点指导学生进行变式训练。

例、将一个长为3cm ，宽为1cm 的长方形，以一条边为轴进行旋转，所得到的圆柱，它的表面和体积各是多少？

在这一题目的计算中，学生要从两个角度进行考虑：

（1）以 a=3cm 为轴进行旋转，得到的圆柱为：底面 r=3cm h=1cm.

（2）以b=1cm为轴进行旋转，得到的圆柱为：底面 r=1cm h=3cm .

通过这两个层次的解析，使学生明确了数学概念内涵和外延，强化了学生数学思维的深度，拓展了数学思维的广度。其次通过计算的结果对比，也让学生明确了圆柱表面积和体积的大小，与地面半径和高的大小有着密不可分的关系，联系生活实际，学生为自己的豁然顿悟，感到了兴奋和自豪，增强了学习数学的兴趣。

思考与训练：1、将一边长为 2cm 的正方形，以一条边为轴进行旋转，所得圆柱，它的表面积和体积各是多少？

2、将例题中的长方形如果以对角线为轴进行旋转，所得的图形是什么图形，你能算出它的体积吗？试试看。

有了圆柱概念形成的经验，我又让学生以两个三角板（正三角板和斜三角板）的直角边为轴，进行旋转。看看可以形成几个圆锥，你能算出他们的体积吗？学生个个兴趣盎然，跃跃欲试。通过这一变式训练，不仅强化了学生对于数学概念的掌握，同时也使得他们对圆柱表面积和体积以及圆锥体积的计算有了更深刻的认识。

二、变化公式条件，增强数学灵活性。

“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”

圆锥体积的计算公式是从与圆柱的对比实验中得到的 V= 1/3Sh 。这一结论有一个重要的条件：圆柱和圆锥等底等高。在一般的计算中，学生是不用考虑这一要素的，只要是圆锥，就按公式计算出体积就可以了。但在圆锥与圆柱的对比练习中，这一要素就显得尤为重要学生稍有不慎，就会思想模糊容易出错。其实质是公式理解不到位舍本求末，灵活性太差。为此，在练习中我进行如下的尝试训练：

（1）体积底面积相等，圆柱与圆锥的高有何关系？（圆柱是圆锥高的1/3）

（2）体积高相等，圆柱与圆锥的底面积有何关系？（圆柱是圆锥底面积的1/3）

通过训练和对比分析，学生从最基本的结论“底面积和高相等，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍”推演和验证了，圆柱和圆锥体积及其构成要素之间的密切联系，以及在各要素之间相互变化时产生出不同的结论。从而感受到了数学的“求变”思想和变化的无穷魅力。

三、截剖变形，转换思维角度。

为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标有机结合，整体实现课程目标。

圆柱与圆锥在教学过程中，更要注意其几何体的特点及其形成过程，让学生在这一动态的生成过程中，细心的观察、发现、感受其特点，从而从本质上掌握定义公式性质等解决问题的基本要素，才有可能在形变的过程中进行灵活的演变，抓住其核心和关键的计算要素，灵活正确的处理和解决问题。

圆柱与圆锥的形成都是通过长方形和直角三角形旋转得到的，那么这个截剖变形就是有章可循的。为了增强学生求异思维，在数学练习中，进行简单的“破坏”原型几何体的训练，就显得非常重要。

例：一圆柱高为3米，沿地面直径将它剖开，表面积增加了12平方米，请问这个圆柱的体积是多少平方米？

通过训练使学生明确了，无论截还是剖，都是通过转化条件的方式来考察我们解决问题灵活性。这就要求我们在解决数学问题时，首先从数学概念的原始形成入手，注重知识生成过程的分析，全方位多角度掌握概念和公式的应用，举一反三，逐类旁通，只有这样，才会在数学解题时思维活跃，得心应手，增强自信。

参考文献：

[1] 义务教育数学课程标准（2011年版）.