基于分岔理论的电力系统电压稳定性概述

摘要: 为研究电力系统电压稳定性问题，本文基于分岔理论的基本概念和主要分析方法，介绍了电力系统电压稳定分析中的静态分岔和动态分岔现象及其与电压稳定的关系，从静态分岔和动态分岔两个方面阐述了分岔理论在电压稳定分析中的具体应用后，论述了引起电压失稳的鞍结点分岔 、Hopf 分岔等2种主要分岔形式的定义、发生的条件及分岔点的计算方法，比较了各种分析方法的优缺点对目前应用于电力系统电压稳定性分析中的分岔方法进行了较为全面的概

括和评述。最后，对分岔理论在电压稳定分析应用中需进一步深入探讨的问题进行了展望。

关键词: 电压稳定；分岔理论；静分岔;动分岔；直接法；延续法

中图分类号：TM933.21 文献标识码：A文章编号：

1引言

电力系统是一个非常复杂的大规模非线性动态系统，其稳定性关系着电网的安全、经济以及供电可靠性，因而电力系统稳定性分析一直都是电力系统运行和规划中最重要也是最复杂一项任务。

本文着重论述静、动分岔学分别在电力系统中的应用，研究引起电压失稳的静分岔点鞍结点分岔和动分岔点霍普夫分岔点对电力系统静态和动态电压稳定的影响，介绍了这两个分岔的现象和满足的条件，求解它们的方法步骤，比较了对应求分岔点方法的适应范围，并提出了在建模及算法设计方面可能遇到的问题及相应的解决策略。

2 分岔理论的基本知识

分岔是指任意小的参数变化而引起动力系统的相轨迹拓扑结构发生突然变化。分岔理论是研究非线性系统时由于参数的改变而引起解的不稳定性从而导致解的数目变化的行为。对一个电力系统，其微分-代数方程可表示为：（1）

式中U,J——开集；

x——系统状态变量；

μ——控制参数；

F——一个充分光滑的函数，F：是的映射当μ连续变化并经过某一临界值时，如果式（1）所示系统失去结构稳定性，即系统的定性性态(平衡点数目、稳定性、周期轨道的拓扑结构)发生突然变化，不能从一种流连续变到另一种流,则称该非线性动态系统在处分岔，称为分岔值，全体分岔值的集合称为系统在参数空间中的分岔集，及其所对应的状态变量称为分岔点，所有分岔点的集合构成系统的分岔超曲面。

由于电力系统分析习惯上分为静态和动态分析，因此分岔理论在电力系统中的应用也分为静、动态两个方面。下面就着重对这两种分岔进行分析。

3 电压稳定的静态分岔分析方法

在电压稳定的静态分岔分析中,一般我们不考虑元件的动态行为，此时的平衡点方程就是潮流方程。因此静态分岔着重研究平衡点的分岔问题。尽管静态分岔有多种分岔形式，但在电力系统稳定性的研究中，鞍结点分岔是最基本的,因此以下电压稳定的静态分岔着重介绍鞍结点分岔。鞍结点分岔是指平衡方程的特征值在随参数变化的过程中由负变正时出现的分岔。在鞍结点分岔处,系统有零特征值,对应的雅可比矩阵奇异，从而导致潮流计算发散。零特征值对应的特征向量包含了关于分岔性质、系统响应及控制的有效性等有价值的信息。其中,左特征向量表明哪个状态变量对零特征值有显著的影响，即为了修正系统的分岔特性,获得预期的动态行为，对哪些状态进行控制才能更有效，从而达到稳定电压的目的;右特征向量表明在状态空间中由于鞍结点分岔导致系统演变时其状态所沿的新方向，利用此向量的有关信息可以确定引起鞍结点分岔、造成系统电压失稳的最危险的扰动方式。

目前，静态分岔的研究方法主要分为直接法和延续法两种。

3. 1 直接法

3. 1. 1 单参数直接法[3]

此方法最早由Seydel[4] 提出，用以计算单参数情况时的静分岔点。其主要思想是：为了直接求解平衡解流形上的静分岔点，定义两个非平凡向量u、v ∈,将求解平衡解问题转化为求解如下的方程组问题：

（2）

式中：

x——系统状态变量；

μ——系统控制参数;

w、v ——分别为雅可比矩阵零特征值对应的左、右特征向量。

应用牛顿迭代法求解式（2）即可直接得到静分岔值和静分叉点的位置。

1995年，Chiang H D[3] 对直接法进行了改进,通过引入一平滑的标量函数及新参数，将式（2）从2 n + 1 维降低为n + 1 维，加快了方法收敛性,简化了计算，且克服了在静态分岔点附近雅可比矩阵病态的问题。此方法的缺点是所得信息量少，难以满足运行人员全面地了解系统从当前状态过渡到分岔情况系统维持电压水平能力的要求，而且，目前直接法还不能在计算分岔点的同时，进行分岔点类型及新分支方向判别。

3. 1. 2 多参数直接法[5][6]

所谓多参数即是设控制参数μ，μ向量变化方向是随机的，此种情况下搜索出的静分岔点应该是在分岔超曲面上面距离当前运行点最近的一个分岔点。应该说这种情况更具有实际意义。此方法的主要思想是,通过定义一个向量函数,将分岔点的求取转化成非线性优化问题。

设向量函数：

为此构造拉格朗日函数:

寻求的目标是为最小时，使。利用拉格朗日乘子法即可求出距离最近的静分岔点。

与单参数直接法比较，我们可以得到该方法的优点是适用范围更广，缺点除了和单参数直接法一样的缺点外，还有就是计算工作量要大得多。

3. 2 延拓法[7]

这是一种追踪平衡解流形的方法，其也分为单参数和多参数两种情形来处理。

单参数延续法的主要思想是：先对常规的潮流方程进行参数化处理后得到扩展的潮流方程，然后假设潮流的初始点已知，从此点出发,通过预测环节后，在给定的变化步长下，利用插值法或切线法获得下一点的近似值,最后通过校正环节解得下一点的准确值，如此循环直至求得分岔点。

其扩展方程组如下：

（3）

式中：

g( x) ——常规潮流方程；

b ——方向向量；

μ ——分岔参数；

P( x ,μ) ——参数化方程,主要有弧长参数化和局部参数化两种方法。

的引入，使方程（3）的雅可比矩阵在分岔点处不奇异，从而克服了g( x) 的雅可比矩阵在分岔点处奇异，在分岔点附近雅可比矩阵病态造成潮流计算不收敛的问题[8]。

在延拓法的主要步骤中,预测的方法主要是将切线法和割线法这两种方法联合使用，对第一点预测时应用切线法，以后各点均用割线法；校正时采用弧长法;对步长的控制用如下措施：在校正过程中，若迭代法经过预先指定的次数仍然不收敛，则将步长减小到原来的一半,重新校正；若经过很少几次迭代就收敛，则下次迭代的步长选为本次的两倍;若在适当的次数下收敛，则下次迭代的步长保持不变。

多参数延续法的主要思想是：首先采用延续法求取单个参数情况下的鞍结点分岔点，然后从该分岔点出发，采用延续法求解出表示鞍结点分岔的下列非线性方程组，从而方便追踪出系统的二维分岔边界。

式中：

A ——系统的增广矩阵；

q ——包含零特征值对应的右特征向量的单位向量。

理论上，在二维分岔边界的基础上可逐步得到更高维参数的分岔边界，不过边界的表示及计算方法将会更复杂。