高中数学要培养学生的思维方法和创新能力

应用所学数学知识对自然现象进行系统地分析和多角度、多层面地描述，能发现相同自然现象之间的区别，能把握不同自然现象之间的联系，能分析自然现象变化发展的原因。主要考查比较能力、综合分析能力和创新能力,要求学生从多角度、多层面去看待问题，从整体的角度，用发展的眼光去看待自然现象。这是培养能力的一种行之有效的方法，它对沟通不同知识间的联系，开拓思路，培养发散思维能力，激发学生的学习兴趣都十分有益。在教学中，恰当适量地采用一题多解的方法，进行思路分析，探讨解题规律，能提高分析问题和解决问题的能力。培养学生的发散性思维能力，学生学会了发散性思维，在解题中就能全面考虑问题，沿着已知条件，从不同角度去思考，开发学生智力，活跃学生思维、提高学生能力，培养学生解题方法和技巧，达到高效复习的目标。下面以2010全国卷第16题为例加以说明， 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D， BF=2FD，则C的离心率为。

【解析1】如图，设椭圆程为x2a2+y2b2=1，DxD,yD，则

|BF|=b2+c2=a,

作DD1y轴于点D1,由BF=2FD，得

|OF||DD1|=|BF||BD|=23,

所以|DD1|=32|OF|=32c,即xD=3c2。

由椭圆的第二定义知，

|FD|=e(a2c－3c2)=a－3c22a，

又由|BF|=2|FD|,得a=2a－3c2ae=33。

点评：本题解答运用了椭圆的几何性质、第二定义、数形结合的思想，寻找解题思路，合理进行转化，使问题化难为易，让学生回归教材，掌握定义等最基础的知识从而使几何问题得以解决，在解本题中综合运用“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”等。

【解析2】设椭圆程为x2a2+y2b2=1， B(0,b)，F(xc,yc)，DxD,yD，F分 BD所成的比为2，xc=0+2x21+2x2=32xc=32c；yc=b+2y21+2y2=3yc－b2=3?0－b2=－b294?c2a2+14?b2b2=1e=33。

点评：本解运用了有向线段定比分点进行求解使问题变得直观，同时收到了化繁为简的效果。

【解析3】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，F（c,0）,B(0,b),D(xD,yD)。则BF=(c,－b)，FD=(xD－c,yD)，BF=2FD，解得xD=32c,yD=12b,把点D的坐标代入方程化简得c2a2=13,所以e=33。

点评:本解运用了向量的数量积与运算律，简明、快捷、易懂。有关圆锥曲线中的离心率问题，如果没有给出c和a，则要结合章节知识得到c和a的齐次方程，从而得出离心率。

【解析4】由BF=2FD可知，BF=2FD，BF=a+exB=a，FD=a+exD，代入知，xD=a2e，xF=23xD， 23×a2e=c，e2=13,即e=33。

点评:向量是沟通代数与几何的桥梁，利用向量可以使几何关系与数量关系相互转化，思路清晰，过程简捷。

练习：1、斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。

2.椭圆x225+y216=1的焦点是F1、F2，椭圆上一点P满足PF1PF2，下面结论正确的是（）。

（A）P点有两个（B）P点有四个

（C）P点不一定存在（D）P点一定不存在

目前，一题多解和多题一解已广泛应用于数学教学中，尤其是在高三数学复习中，更应强调一题多解和多题一解，以便改观高强度低效率的复习效果。任何解题方法都有其赖以产生的数学基础，而这个基础就是数学教材中的知识、结论、思想方法以及它们之间的内在联系。一道题目可以用许多方法来解答，平时做题不应只着眼于解出这道题，而要尝试用多种解法来解答。尝试从多个角度去解题，可以拓宽思路，在遇到其他类型的题目时更会有意外收获。

在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法，研究题中包含的知识点与重要的思想方法，通过一题多解培养学生的多方向探索思考问题的能力。

总之，高考数学试题在难度控制、效度设计、题型比例、考查知识的重点等方面会有新的探索和尝试。不刻意追求对知识点覆盖面，注重在知识的交汇处设计试题，重视对数学思想和方法的考查，注重能力的考查，特别是分析问题和解决问题的能力、创新能力和实践能力、采集加工信息的能力的考查。

（作者单位：河南省济源市第一中学）