无穷可数个Brown运动驱动的SDE的强解

摘要: 研究了驱动项为无穷可数个brown运动的一般的Ito随机微分方程，用标准的方法证明了强解的唯一存在性定理以及推广的Yamada定理.

关键词: 弱解；强解；分布唯一性；轨道唯一性

中图分类号:O211.63

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)05-0347-05

Strong Solutions of SDE Driven by Countably Many Brownian Motions

ZONG Fengxi,LI Rubing

(School of Mathematics and Information Science, Qujing Normal University, Qujing 655000, China)

Abstract: At present, more and more scholars study infinite dimensional Brownian motions and the related SDE. Countably many Brownian motions are the simplest infinite dimensional Brownian motions, and the study of the SDE driven by countably many Brownian motions is good for the further study of the SDE driven by general infinite dimensional Brownian motions. This research studies Ito stochastic differential equation driven by countably many Brownian motions, and proves the unique existence theorem of its strong solutions and the promoted Yamada Theorem with the standard method.

Key words: weak solution; strong solution; uniqueness in distribution; pathwise uniqueness

本文主要研究的驱动项为无穷可数个Brown运动的一般的Ito随机微分方程形式如下：

dXt=b(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dWt,X0=Z∈Rd,（1）

即Xit=Zi+∫0tbi(s,Xs)ds+∑∞j=1∫0tσij (s,Xs)dW js， i=1,…,d.

或Xt=Z+∫0tb(s,Xs)ds+∫0tσ(s,Xs)dWs,

其中，Wt={W jt}t≥0为无穷可数个Brown运动［1］,

bT(t,ω)=(b1(t,ω),…,bd(t,ω)):［0,T］×C(R+,Rd)Rd，

σ(t,ω)=(σij(t,ω)):［0,T］×C(R+,Rd)Rd×∞，

都是可料的过程．

类似驱动项为有限维Brown运动的情况，下面给出方程（1）的相关概念，这些相关概念参考了文献［2］．

定义1 若存在赋流概率空间(Ω,[XC宗凤喜1.tif],([XC宗凤喜1.tif]t)t≥0,P)及其上的d维连续适应过程Xt和无穷可数个Brown运动Wt，并且对所有的t≥0满足如下条件：

1)[KG*2]∫0tb(s,Xs)ds+∫0tσ(s,Xs)2ds

2)[KG*2]Xt=Z+∫0tb(s,Xs)ds+∫0tσ (s,Xs)dW P－a.s. .

则称(Xt,Wt)为方程(1)具有初值Z的一个弱解，简称解．

定义2 若解(Xt,Wt)是[XC宗凤喜1.tif]tW（即无穷可数个Brown运动W的自然σ代数流）适应的，则称(Xt,Wt)为方程(1)的强解．

由上述2个定义可知，强解一定是弱解，而弱解不一定是强解．

定义3 称方程(1)的解具有分布唯一性，如果对任意的2个解(Xt,Wt)和(X・t,W・t)（允许定义在不同的赋流概率空间上），有

Law(Xt,t≥0)=Law(X・t,t≥0)，

即X与X・具有相同的有限维分布．

定义4 称方程(1)的解具有轨道唯一性，如果对定义在同一赋流概率空间上的任意2个解(Xt,Wt)及(X・t,Wt)，都有

P(t≥0,Xt=X・t)=1，

即X与X・无区别．

若方程(1)没解，也称它的解具有分布唯一性及轨道唯一性．

在本文后面的叙述中，总采用下列符号：Ω1=C(R+,Rd)，Ω2=C(R+,R∞)，把下面的σ代数都定义在Ω1×Ω2上：

[XC宗凤喜1.tif]it=σ(ωis∈Ωi,s≤t)，[XC宗凤喜1.tif]i=∨t[XC宗凤喜1.tif]it，[XC宗凤喜1.tif][DD(-*4]・it=σ(ωiu－ωit,u≥t)，ωit∈Ωi,t≥0,i=1,2.

由上可知：

[XC宗凤喜1.tif]i=[XC宗凤喜1.tif]it∨[XC宗凤喜1.tif][DD(-*4]・it ， t≥0,i=1,2．

设(Xt,Wt)是方程(1)在赋流概率空间(Ω,[XC宗凤喜1.tif],[XC宗凤喜1.tif]t,P)上的解，按如下方式定义Φ：

Φ:ΩΩ1×Ω2,Φ(ω)(t)=(Xt(ω),Wt(ω))，

测度Q是P在映射Φ下的象，那么Q是Ω1×Ω2上的测度，对任意的AΩ1×Ω2，我们定义如下测度族：

Q(ω2,A)=EQ［IA/[XC宗凤喜1.tif]2］．

1 重要引理

这一部分主要介绍一些必要的引理，为后面主要结论的证明作准备．

引理1［3］ [JP3](Gronwall－Bellman) 设T>0，实函数g≥0及h于［0,T］上Lebesgue可测，若存在常数K≥0，对任意的t∈［0,T］有：

g(t)≤h(t)+K∫0tg(s)ds，

则对任意的t∈［0,T］有：

g(t)≤h(t)+K∫0tek(t－s)h(s)ds．

由引理1易得如下推论．

推论2 设T>0，实函数g≥0，若存在常数C和A，对任意的t∈［0,T］有：

g(t)≤C+A∫0tg(s)ds，

则对任意的t∈［0,T］有：

g(t)≤CeAt．

引理3［4］ 设P和P′是完备可分空间(Ω,[XC宗凤喜1.tif])上的2个概率测度，满足(PP′)(G)=1，其中G={(ω,ω),ω∈Ω}，则存在ω0∈Ω，使得

P=P′=δω0，

即乘积测度若集中在“对角线”上，则必然集中于某个单点．

引理4 如果A∈[XC宗凤喜1.tif]1t，映射ω2Q(ω2,A)=EQ［IA/[XC宗凤喜1.tif]2］Q－a.s是[XC宗凤喜1.tif]2t可测的．

证明 如果A1,A2,A・是3个σ代数，在概率测度m下，A1∨A2与A・独立，那么对任意的A∈A1，可得：

m(A/A2)=m(A/A2∨A・)m－a.s.．

又由于[XC宗凤喜1.tif][DD(-*4]・2t与[XC宗凤喜1.tif]1t∨[XC宗凤喜1.tif]2t在Q下是独立的，因此有

Q(.,A)=EQ［IA/[XC宗凤喜1.tif]2］=EQ［IA/[XC宗凤喜1.tif]2t∨[XC宗凤喜1.tif][DD(-*4]・2t］=EQ［IA/[XC宗凤喜1.tif]2t］Q－a.s.，

由条件期望的定义知：Q(.,A) Q－a.s是[XC宗凤喜1.tif]2t可测的．

引理5 设W为无穷可数个[XC宗凤喜1.tif]t-Brown运动，若算子σ(t,ω)

σ(t,ω):［0,T］×C(R+,Rd)Rd×R∞

满足如下3个条件：

1)(t,ω)σ(t,ω)是可测的；

2)σ(t,ω)是[XC宗凤喜1.tif]t适应的；

3)E［∫0tσ(s,ω)2 ］ds=E［∫0t∑dj=1∑∞i=1σij(s,ω)2ds ］

那么,∫0tσ(s,ω)dWs 存在t连续版本，即在概率空间(Ω,[XC宗凤喜1.tif],P)上存在d维的连续随机过程Jt对任意的t∈［0,T］满足：

P(Jt=∫0tσ(s,ω)dWs )=1．

该引理根据有限维的情况容易证得.

2 主要结论及证明

下面叙述强解的存在唯一性定理,文献［5］用标准方法给出证明．

定理1 设存在常数C和D，对任意的x,y∈Rd，t∈［0,T］满足如下条件：

1)满足Lipschitz条件，即

b(t,x)－b(t,y)+σ(t,x)－σ(t,y)≤C(x－y)

2)满足线性增长条件，即

b(t,x)+σ(t,x)≤D(1+x)

{Wt}t≥0产生的σ代数记为[XC宗凤喜1.tif]Wt∞，初值Z与[XC宗凤喜1.tif]Wt∞独立，且E［Z2］

证明 1)[JP+3]用逐次逼近的方法构造出方程(1)的一个解，并说明它是强解.令Yt(0)[KG-*4/5]=[KG-*2]X0，归纳定义Yt(k)[KG-*2]=[KG-*2]Yt(k)(ω)如下：

Y(k+1)t=X0+∫0tb(s,Y(k)s)ds+∫0tσ(s,Y(k)s)dWs，

那么对任意的k≥1,t≤T，可得如下推导：

E［Y(k+1)t－Y(k)t2］=E［∫0t(b(s,Y(k)s)－b(s,Y(k－1)s))ds+∫0t(σ(s,Y(k)s)－σ(s,Y(k－1)s))dWs 2］≤

2E［(∫0t(b(s,Y(k)s)－b(s,Y(k－1)s))ds )2］+2E［(∫0t(σ(s,Y(k)s)－σ(s,Y(k－1)s))dWs )2］≤

2T・E［∫0t(b(s,Y(k)s)－b(s,Y(k－1)s))2ds ］+2E［∫0tσ(s,Y(k)s)－σ(s,Y(k－1)s)2ds ］≤

2T・C2E［∫0tY(k)s－Y(k－1)s2ds ］+2C2E［∫0tY(k)s－Y(k－1)s2ds ］= (1+T)・2C2∫0tE［Y(k)s－Y(k－1)s2ds］.(2)

上面的推导过程中，第1个不等式利用了基本不等式，第2个不等式运用了Schwarz不等式及无穷可数个Brown运动的Ito等距定理［1］，第3个不等式运用了Lipschitz条件．

对于k=0的情况，可类似地推导出如下结果：

E［Y(1)t－Y(0)t2］=E［∫0tb(s,X0)ds+∫0tσ(s,X0)dWs 2］≤A1t(3)

其中A1只与D,T及E［X02］有关．

通过(2)式及(3)式对k进行归纳，存在合适的常数A2（依赖于C,D,T及E［X02］）对所有的k≥0及t∈［0,T］满足［8］：

E［Y(k+1)t－Y(k)t2］≤Ak+12tk+1(k+1)!．

设λ是［0,T］上的Lebesgue测度，对于m>n>0，我们可得如下推导：

Y(m)t－Y(n)tL2(λ×P)=∑m－1k=1(Y(k+1)t－Y(k)t)L2(λ×P)≤∑m－1k=nY(k+1)t－Y(k)tL2(λ×P)=

∑m－1k=n(E［∫0tY(k+1)t－Y(k)t2dt ］)12≤∑m－1k=n(∫0tAk+12tk+1(k+1)!dt)12=

∑m－1k=n(Ak+12Tk+2(k+2)!)120 (m,n∞)，

上面最后一步的推导利用了无穷级数收敛的性质．由上面的推导结果可知：{Y(j)t}∞j=0是L2(λ×P)中的Cauchy列，因此{Y(j)t}∞j=0在L2(λ×P)中是收敛的．定义

Xt:=limj∞Y(j)t （L2(λ×P)中的极限），

由于每个Y(j)t是[XC宗凤喜1.tif]t适应的,那么Xt也是[XC宗凤喜1.tif]t适应的.下面证明Xt满足方程(1)．

对所有的t∈［0,T］及j∈N+，我们有

Y(j+1)t=X0+∫0tb(s,Y(j)s)ds+∫0tσ(s,Y(j)s)dWs，

那么让j∞，分别利用Holder不等式及Ito等距可得：

∫0tb(s,Y(j)s)dsL2(P)∫0tb(s,Xs)ds，

∫0tσ(s,Y(j)s)dWsL2(P)∫0tσ(s,Xs)dWs，

故对任意的t∈［0,T］，我们有

Xt=X0+∫0tb(s,Xs)ds+∫0tσ(s,Xs) dWs，

即Xt满足方程(1)．

通过引理5知，方程(1)的右端存在连续版本，记为X・t，那么X・t是连续的且满足：

X・t=X0+∫0tb(s,Xs)ds+∫0tσ(s,Xs)dWs=

X0+∫0tb(s,X・s)ds+∫0tσ(s,X・s)dW a.e.ω，

通过上面的证明过程可知，方程(1)有一个强解．

2）下面证明方程(1)的解具有轨道唯一性．

设X1(t,ω)=Xt(ω)，X2(t,ω)=X・t(ω)是方程(1)的2个解，记

a(t,ω)=b(t,Xt)－b(t,X・t)，γ(t,ω)=σ(t,Xt)－σ(t,X・t)，

那么类似(2)式可得如下推导结果：

E［Xt－X・t2］=E［(∫0tads+∫0tγdWs )2］≤2C2(1+t)∫0tE［Xs－X・s2］ds .

对任意的t∈［0,T］，令V(t,ω)=E［Xt－X・t2］≥0，则由上式可得

V(t,ω)≤A∫0tV(s,ω)ds ， A=2C2(1+T)，

由推论2得: V(t,ω)≤0．

故对任意的t≥0，V(t,ω)=0．因此对有理数集Q，有

P(Xt－X・t=0,t∈Q∩［0,T］)=1，

根据tXt－X・t是连续的，可得

P(Xt－X・t=0,t∈［0,T］)=1．

综上，轨道唯一性得到证明．

下面是经典Yamada的推广，由该定理可以说明方程(1)存在唯一强解的充要条件是：存在一个弱解且解具有轨道唯一性．该结论在文献［6］中首次得到，本文用标准的方法给出了证明，证明过程参照了文献［7］．

定理2 如果方程(1)的解具有轨道唯一性，那么

1）方程(1)的解具有分布唯一性；

2）存在一个可测映射Φ:Ω2Ω1满足：a.Φ(ω2)是[XC宗凤喜1.tif]2t适应的；b.对方程(1)的每个解(Xt,Wt)及任意的ω，我们都有Xt(ω)=Φ(Wt(ω))．特别地，每个解都是强解．

证明 1）设Ω1=Ω′1=C(R+,Rd)，在乘积空间Ω1×Ω′1×Ω2上定义测度π：

π(dω1,dω′1,dω2)=Q(ω2,dω1)Q′(ω2,dω′1)PΩ2(dω2)，

其中，PΩ2是Ω2上的Wiener测度.［9］

如果h[DD(-*4]-t=σ(ω1(s),ω′1(s),ω2(s),s≤t)，那么过程ω2(t)关于测度π是无穷可数个h[DD(-*4]-tBrown运动．事实上，我们只需证，对任意的s

令A∈[XC宗凤喜1.tif]1s，A′∈[XC宗凤喜1.tif]1′s，B∈[XC宗凤喜1.tif]2s，λ∈l2，通过引理4可得：

Eπ［exp(i(λ,ω2(t)－ω2(s)))IAIA′IB］=∫Bexp(i(λ,ω2(t)－ωt(s)))Q(ω2,A)Q′(ω′2,A′)PΩ2(dω2)=

exp(－λ2(t－s)2)∫BQ(ω2,A)Q′(ω′2,A′)PΩ2(dω2)=

exp(－λ2(t－s)2)π(A×A′×B)，

这就说明了ω2(t)－ωt(s)与h[DD(-*4]-s是独立的．

下面说明(ω1,ω2)及(ω′1,ω2)都是方程(1)在赋流概率空间(Ω1×Ω′1×Ω2,h[DD(-*4]-t,π)上的解．事实上，如果

Xt=X0+∫0tb(s,Xs)ds+∫0tσ(s,Xs) dWs P.a.s.，

由于(σ(s,Xs),b(s,Xs),Ws)在P下的联合分布就是(σ(s,ω1(s)),b(s,ω1(s)),ω2(s))在π下的联合分布，所以有

ω1(t)=X0+∫0tb(s,ω1(s))ds+∫0tσ(s,ω1(s)) dω2(s) π.a.s.．

轨道唯一性说明了ω1与ω′1在π下是无区别的，因此ω1(π)=ω′1(π)，故

X(P)=X′(P)．

2）更进一步，ω1与ω′1在π下无区别也就是说，π(G)=1，其中，G为：

G={(ω1,ω′1,ω2):ω1=ω′1∈Ω1,ω2∈Ω2}．

由引理3知，存在从Ω2到Ω1的可测映射Φ，满足：

Q(ω2,.)=Q′(ω2,.)=εF(ω2). PΩ2.a.e.ω2,

设P・是P在映射φ:ΩΩ1×Ω2:φ(ω)(t)=(Xt(ω),Wt(ω))下的像，那么，P・(G)=1，G={(Φ(ω2),ω2):ω2∈Ω2}，因此，Xt(ω)=Φ(Wt(ω))．

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