基于小波包分析的图像边缘检测

摘要：通常，图像的边缘为频率域的高频分量。小波分析是一种信号的时间-频率分析方法，而小波包分析是在小波分析的理论基础上，将信号的高频成分分开且可对高频成分继续分解，为信号提供更加精细的分析方法。该文采用基于共轭正交滤波器的小波包分解算法对图像进行边缘检测，实验表明，这种方法能够清晰地检测出图像的边缘。

关键词：边缘检测；小波包分析；共轭正交滤波器

中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)32-1174-02

Image Edge Detection Based on Wavelet Packet Analyze

DONG Jie

(Department of Computer Science and Technology, Tongji University, Shanghai 20092, China)

Abstract: Usually, the edge of image is the high frequency of frequency field. Wavelet analyze is a time-frequency signal analyze method. Then Wavelet packet analyze based on wavelet analyze can divide high frequency and low frequency and is a much more precise method of signal analyze. An algorithm of wavelet packet analyze based on conjugate quadrature filter proposed and is applied to images edge detection. Results show that the algorithm can detect the edge of an image clearly.

Key words: edge detection; wavelet packet analyze; conjugate quadrature

1 引言

边缘检测的基本问题是检测精度与抗噪性能之间的矛盾，由于图像中普遍存在噪声,而图像边缘和噪声均为频域中的高频分量，这给边缘检测带来了困难。传统的边缘检测是采用边缘检测算子求解二维实函数的梯度，然后选择合适的域值以提取边缘，这些经典的边缘检测算子有Sobel，Prewitt ，Canny 等。其中，Sobel和Prewitt边缘检测算子是通过对图像的每一个像素点计算其邻点灰度的加权和来检测边缘的，这些算子的主要缺点是对噪声敏感和边缘定位精度低；Canny边缘检测方法是使用拉普拉斯算子，并且使用双阈值算法检测和连接边缘，虽然提取效果好，但很容易产生双边缘，并且对噪声敏感。可以肯定，用单一尺度的边缘检测算子不可能检测出图像所有的边缘，为避免在滤除噪声时影响边缘检测的正确性，用多尺度的方法检测边缘越来越得到重视。

小波变换具有良好的时频局部特性及多尺度分析能力[1]适合检测突变信号，是检测突变信号强有力的工具，与傅立叶变换相比，小波变换使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变的时频局部化分析方法，用它来检测边缘，可以在大尺度下抑制噪声，小尺度下精确定位边缘，为图像边缘提取提供了新的思路和新的技术途径。小波包分析是从小波分析延伸出来的一种对信号更加细致的分析与重构方法。小波包分析不但对低频部分进行分解，而且对高频部分作更加细致的刻画，对信号的分析能力更强。

2 小波包理论

2.1 小波包分析

多分辨分析可以对信号进行有效的时频分析，但由于其尺度函数是按二进制变化的，因此在高频段其频率分辨率较差，只能对信号的频段进行指数等间隔划分。小波包分解通过把频带进行多层次划分，能够对多分辨率分析中没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应的选择相应频段，使之与信号频谱相匹配，从而提高时频分辨率。

该表达式表明多分辨率分析是按照不同的尺度因子j把空间L2(R)分解为子空间Wj(j∈Z) 的直和。其中Wj为小波函数{?渍j,k}k∈Z的闭包（小波子空间）。进一步对小波子空间Wj按照二进制进行频率的细分，我们将尺度子空间Vj和小波子空间Wj用一个新的子空间Uj2n统一起来表征。令Uj0=Vj，Uj1=Wj，j∈Z，则正交分解Vj+1=Vj?茌Wj，即可用Ujn的分解统一为 ：

U0j+1=U0j+U1j，j∈Z（2）

定义子空间Unj为函数un(x)的闭包空间，而Uj2n是函数u2n(x)的闭包空间，并令un(x)满足下面的双尺度方程：

其中gk=(-1)h1-k，即两系数也具有正交关系。特别地，当n=0时，由以上两式直接得到

式（4）分别为尺度函数u0(x)和与小波函数u1(x)的双尺度方程。利用式（3）与式（4）可以得到如下空间分解：

Unj+1=Uj2n+Uj2n+1

由式（3）与（4）构造的序列{un(x)}（其中n∈Z+）称为由基函数?渍(x)=u0(x)确定的小波包。

2.2 小波包分解算法

小波包分解算法：由{dlj+1,n}求{dlj,2n}与{dlj,2n+1}。

3 图像边缘检测的小波包分解算法

3.1 正交共轭滤波器

其中*表示矩阵的共轭转置。如果低通滤波器{P(w)}满足（5）或（8），我们称之为α尺度r重正交共轭滤波器。

3.2 图像分解

图像的边缘对应灰度的突变，对应分解后的高频子空间，所以我们采用小波包对图像分解时，被反复分解的是高频子空间，对应图像平滑部分且包含大量能量的低频子空间不再分解。

下面基于共轭滤波器组对上述高频子空间进行正交小波包分解，即使用低通滤波器和高通滤波器分别作用于高频子空间的行和列。经小波包分解后，一个高频子空间将被分解成四个正交子空间的直和，如下所示：

式中的j不仅对应被分解子空间所在的层次，也对应被分解图像的尺度，j越大，被分解子空间所在层次越高，被分解子空间的尺度越小；j越小，被分解子空间所在层次月底，被分解子空间的尺度越大，当j=0时，对应未被分解的原始图像。下图是j=2时小波包分解形成的子空间示意图。图像经小波包分解后，最终形成一个四叉树结构，树的总层数记为J，其大小由边缘细节的要求而定。图像经小波包分解后，就能得到小波包分解树所有端节点的小波包系数。

3.3边缘检测

正交小波包分解具有方向性，在进行边缘检测时，将同一层，同一子空间的LH，HL，HH3个系数矩阵两两相减，将差值分别记为R1j,l,R2j,l,R3j,l，它们分别对应第j层第l个子空间中水平，垂直和对角线方向上的灰度的变化，Rij,l的大小对应灰度的变化程度，同一层的(i=1,2,3)，其值越大，灰度变化越大，对应边缘越清晰，越小，对应边缘越不清晰，其值为0，说明对应的是非边缘部分。

接下来采用自适应阈值法对Rij,l进行阈值化处理，来分别检测不同尺度下图像的边缘。计算方法如下：

其中n是信号采样长度，J是分解的总层数，σ是噪声的标准方差，j是尺度层次。第一步先用2-j/2乘以Rij,l的绝对值，然后用全局阈值 对其进行处理，即将2-j/2乘以Rij,l的绝对值小于阈值的置为0，否则保留原值不变。阈值化处理后，子空间中对应平滑部分的Rij,l均变为0，非0的Rij,l对应图像的边缘，然后根据Rij,l求出不同尺度下的边缘。

4 实验结果

本文采用两组图片即原始图与加噪图分别进行试验，结果如下：

由试验结果可以看出，由于采用共轭滤波器，低通滤波器对噪声有一定的抑制，而且图像边缘有方向性，在进行小波包分解后，不同方向上的系数相差较大，噪声具有随机性，在进行小波包分解后系数相差不大，进行阈值处理时正好可以抑制噪声。

5 结论

本文采用基于共轭正交滤波器组的小波包分解算法，用于图像边缘检测，实验结果证明了其在加噪与非加噪图像边缘检测的有效性，能较好的提取出边缘，特别是在噪声存在的条件下，具有很好的噪声抑制力，具有一定的实用性。

参考文献：

[1] 张光年,葛庆平.基于Marr Hildreth算子多尺度图像边缘检测[J].首都师范大学学报:自然科学版, 2005,26(3):18-19.

[2] 姜威,陈援非.基于小波包矢量量化图像压缩方法[J].山东大学学报：理学版,2003,38(2):67-71.

[3] Mallat S,Hwang W L.Singularty.Detection and Processing with Wavelets[J].IEEE Trans on Information Theory,1992,38(2):617.

[5] 康志伟，廖剑利，何怡刚. 基于可操纵小波的多方向图像边缘检测. 系统仿真学报,2006,18(4):986-989.

[4] Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing[M].Second Edition.杨力华，戴道清，黄文良,等,译.机械工业出版社,2002.

[6] 尹平, 王润生, 自适应多尺度边缘检测[J].软件学报,2000,11(7):990-994.

[7] 孙琰.基于小波变换的图像边缘检测技术[D].西安：西北工业大学,2004.

[8] 张晓威,刘军,朱磊.多尺度双正交小波包的构造[J].哈尔滨工程大学学报,2006,27(6):927-930.