两分子间相互作用力变化规律探讨

普通高中课程标准实验教科书选修3-3（2010年4月第3版，2011年11月第4次印刷）第7章第3节《分子间的作用力》中的“问题与练习”第1题.

题目 请描述：当两个分子间的距离由小于r0逐渐增大，直至远大于r0时，分子间的引力如何变化？分子间的斥力如何变化？分子间引力与斥力的合力又如何变化？

教师教学用书（2010年5月第4版，2011年5月第12次印刷）第13页给出的“解答与说明”如下：

本题可借助于分子力随分子间距离的变化图线来描述.

由如图1中的曲线（本图复制于人民教育出版社的电子课本）可以看出，当两个分子间的距离由小于r0逐渐增大，直至远大于r0，这个过程可分为三个阶段. 第一阶段，由小于r0逐渐增大到等于r0的过程，引力和斥力均减小，斥力比引力减小得快.由于斥力大于引力，斥力和引力的合力表现为斥力. 第二阶段，由r0逐渐增大到合力中引力最大所对应的分子间距离的过程，引力和斥力均减小，斥力小于引力，斥力和引力的合力表现为引力而且合力值逐渐增大. 第三阶段，由合力为引力最大值时两分子间的距离到10r0的过程，斥力和引力均减小，斥力仍比引力减小得快，斥力小于引力，斥力和引力的合力为引力但合力值逐渐减小.

分析 教师教学用书的“解答与说明”分三个阶段进行讨论，分别给出了斥力和引力的大小比较、斥力、引力各自的大小随两分子间距离r变化的关系、斥力和引力的大小随距离r变化的快慢比较、斥力和引力的合力值随距离r变化的关系.当然，对其中的第一阶段，“解答与说明”并没有给出合力值随距离r变化的关系，对其中的第二阶段，“解答与说明”也没有给出斥力和引力的大小随距离r变化的快慢比较.

对于第一阶段，合力值随距离r的增加而逐渐减小的关系，是很容易从图1中直接看出来的，“解答与说明”即使没有交代也没有多大的影响，但是第二阶段，斥力和引力的大小随距离r变化的快慢关系究竟如何？还有第三阶段，斥力和引力的大小随距离r变化的快慢关系——“斥力仍比引力减小得快”又是否正确呢？

要比较斥力、引力大小随距离r变化的快慢，最容易想到的就是比较它们图象的斜率（即图线的陡缓程度），观察图1，当rr0时，比较两个曲线的陡缓程度就有一定的困难了. 笔者试验过，让全班学生用肉眼直接观察图1中第二阶段斥力和引力曲线的倾斜程度，有近1/3的学生认为斥力变化快，有近1/3的学生认为引力变化快，还有的则难以决定. 出人意料的是在第三阶段，有近80%的同学都发现：图1中的斥力曲线已经相当平缓，而引力曲线仍然有一定的倾斜，似乎是引力比斥力减小得快，这与教师教学用书“解答与说明”的结论完全相反.究竟孰是孰非呢？笔者和学生对这一问题进行了很有意义的探讨，以下是学生们给出的另外两种方法：

方法一 第一阶段. 由于合力值F合为斥力，所以计算合力值F合大小的表达式应为F合=F斥-F引. 并且由图1中的合力曲线（图1中中间的实线）可以看出，随着r的减小，合力值F合增大，而F斥、F引也在增大.要保证合力值F合随r的减小而增大，F斥增大的幅度必须要比F引增大的幅度大一些，即斥力比引力变化快.

第二阶段. 由于合力值F合为引力，这时计算合力值F合大小的表达式应为F合=F引-F斥，又因随着r的增大，合力值F合增大，而F斥、F引在减小. 所以要保证合力值F合随r的增大而增大，F斥减小的幅度必须要比F引减小的幅度大些，即此时仍然是斥力比引力变化快.

第三阶段. 由于合力值F合仍为引力，计算合力值F合大小的表达式仍应为F合=F引-F斥，并且随着r的增大，合力值F合减小，F斥、F引也在减小. 如果F斥、F引减小的幅度相同，则由F合=F引-F斥可以推断，合力值F合将保持不变；如果F斥减小的幅度较大，则由F合=F引-F斥可以推断，合力值F合将增加. 所以要保证合力值F合随r的增大而减小，必定是F斥减小的幅度要比F引减小的幅度小一些，即此时斥力将比引力变化慢. 这时“解答与说明”给出的结论是错误的.

方法二 设斥力曲线、引力曲线随分子间距离r的函数分别为F斥（r）、F引（r），则合力曲线随分子间距离r的函数则为F合（r）=F斥（r）+F引（r）. 观察合力曲线可知，在区间（r0，+∞）之间存在一个负的极值点，此即“解答与说明”中所提到的“合力中引力最大”所对应的点，设其横坐标为r1. 由于该点是极值点，所以合力函数F合（r）在此处的一阶导数F合′（r）=0. 又因F合（r1）=F斥（r1）+F引（r1），所以F合′（r1）=F斥′（r1）+F引′（r1），有F斥′（r1）=-F引′（r1），即F斥′（r1）=F引′（r1）. 从导数的几何意义可知，在r1处斥力曲线的倾斜程度与引力曲线的倾斜程度相同，即r1处斥力与引力的变化快慢相同.

当0

当r>r1时，由图1的三条曲线的倾斜情况可知F合′（r）>0、F斥′（r）0，再由F合′（r）=F引′（r）+F斥′（r），可推得F斥′（r）

综上所述，建议教师教学用书的“解答与说明”应更正如下：

本题可借助于分子力随分子间距离的变化图线来描述.

由如图1中的曲线可以看出，当两个分子间的距离由小于r0逐渐增大，直至远大于r0，这个过程可分为三个阶段.第一阶段，由小于r0逐渐增大到等于r0的过程，引力和斥力均减小，斥力比引力减小得快.由于斥力大于引力，斥力和引力的合力表现为斥力，并且合力值逐渐减小. 第二阶段，由r0逐渐增大到合力中引力最大所对应的分子间距离的过程，引力和斥力均减小，斥力小于引力，加之斥力比引力减小得快，所以斥力和引力的合力表现为引力而且合力值逐渐增大.第三阶段，由合力为引力最大值时两分子间的距离到10r0的过程，斥力和引力均减小，斥力小于引力，所以斥力和引力的合力为引力，加之引力比斥力减小得快，所以合力值逐渐减小.

另外教师教学用书在第19～22页给出这一节的教学设计参考案例，在分析斥力、引力随分子间距离变化的快慢关系时也存在相应的错误，希望再版时一并更正.