小题深究 标本兼治

时间:2022-10-21 08:44:25

由于选择题具有覆盖面广、形式新颖、内容丰富、解法灵活、阅卷客观等特点,因此,在各类考试中占有十分重要的位置,选择题所占分值也有较大的比重. 为此,在教学中,选择题的解题教学也越来越受到老师们的重视和关注.

当前,在初中数学教学中,有关选择题解法研究如火如荼,排除法、特殊值法、验证法、试探法等各种解选择题的方法和技巧层出不穷.笔者认为,这是十分必要的,对寻找选择题的正确答案也是有效的. 但是,数学教学的本质是培养学生的数学素养和数学能力,是发展学生的思维和应用数学的意识. 过度强调解题技巧,会造成学生思维的僵化,学生“知其然不知其所以然”,有损学生能力的发展和提高. 初中数学中的选择题教学应着眼于数学的本质,以培养学生“四基”为核心,以发展学生思维为主要目标,重过程,轻结果,体现“以学为中心”的教学理念. 本文就如何在初中数学选择题教学中进行“小题深究”、“标本兼治”作一简单阐述,以求共勉.

一、小题深究,落实四基

一般数学选择题是由一个问句或一个不完整的句子和四个备选答案组成 ,只求正确结论,不用遵循解题步骤. 选择题的解题很难发现解题的依据是否有理、思维方式是否科学、知识应用是否恰当. 为此,在教学中,对于某些选择题采用“小题深究”的方式更有利于对数学基础知识、基本技能、基本方法和基本活动经验的有效训练和巩固,更好地理解和掌握题中所涉及的数学知识和数学思想,有利于学生数学能力的提高.

所谓“小题深究”就是将选择题按解答题要求,进行说理和解答,充分揭示题中所包含的基础知识,应用的数学基本性质,渗透的数学思想等.

例1. 如图1,AB是O的直径,且AB=10,弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆上滑动时,始终与AB相交,记点A,B到MN的距离分别为h1,h2,则|h1-h2| 等于( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解法一:如图2,取MN的特殊位置,使MNAB,AB=10,MN=8, OE=3, AE=2,BE=8,

|h1-h2|=BE-AE=6,故选B.

解法二:如图3,延长BE交O于点G,连结AG,作OHAG,垂足为H,交MN于点K.

则AF=HK=GE,OH=BG,由O的半径等于5,弦MN的长为8,得 OK=3,

2(OK+KH)=BE+EG, 得h2 -h1=6.

评析:方法一是解选择题中一种常用的方法——特殊值法(特殊位置),简单明了,省时省力.我们可以让学生在考试学会用这种方法,但是如果在平时的教学中也应用这种方法,那就消弱了本题的巩固知识、发展能力及数学应用的训练和提高;方法二的解题过程内涵丰富,有效回顾了直径所对的圆周角,三角形的中位线,垂径定理及数形结合与方程思想等. 突显了本题的解题价值.

例2. 定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1 -m , -1- m]的函数的一些结论:

① 当m = -3时,函数图象的顶点坐标是(,);

② 当m > 0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于;

③ 当m < 0时,函数在x >时,y随x的增大而减小;

④ 当m≠ 0时,函数图象经过同一个点.

其中正确的结论有

A. ①②③④ B. ①②④

C. ①③④ D. ②④

解法一:用排除法.

在四个选择支中都包含有结论④,因此,结论④可以不用考虑;当m = -3时,二次函数的解析式为y=-6x2+4x+2,其图象的顶点坐标是(,),因此,结论①是正确的,可排除选项D; 当m = -3时,抛物线的顶点坐标是(,),对称轴为直线x=,且开口向下,因此,结论③是错误的,可排除选项A和C, 本题正确的选项是B.

解法二:由题意,二次函数的解析式为:y=2mx2+(1-m)x-1-m,观察二次函数各项系数,当x = 1时,函数的值为0,因此,函数图象经过点(1,0),所以结论④是正确的;

由解法一,结论①是正确的;

函数y=2mx2+(1-m)x-1-m的图象的对称轴为x=-=-,当m< 0时,->,且开口向下, 结论③是错误的;

又 函数y=2mx2+(1-m)x-1-m的图象经过点(1,0),因此,-2mx2+(1-m)x-1-m可分解为(x-1)和一个一次式的乘积的形式,2mx2+(1-m)x-1-m=(x-1)(2mx+m+1),函数图象与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(-,0),A,B两点间的距离为1+=+, 当m> 0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于,即结论②是正确的.

综上所述,正确选项是B.

评析:数形结合是函数学习最为重要的思想方法. 在解法一中,回避了关于函数图象与轴的两个交点间距离问题. 对学生而言,是一种很大损失,也是对题目的教育资源的一种浪费. 通过解法二对问题进行全面探究,有效地回顾了二次函数的图象与性质,二次函数的图象与x轴的交点、一元二次方程的根以及二次三项式三者之间的关系,同时通过观察,得到二次函数的各项系数之和等于零,其意义在于培养学生的观察能力和发现能力,也是新课标所提出的“数感”培养的体现.

选择题的“小题深究”,有利于学生全面掌握数学知识与方法,有效训练数学四基,发展思维,同时,有利于数学问题教育资源的有效利用.

二、标本兼治,提升能力

笔者认为,在初中数学教学中,传授解选择题的特殊技巧,那是“治标”,探究并挖掘题中所含数学思想、分析问题中各元素之间的内在联系、揭示问题的本质属性才是“治本”.在平时的教学指导中,老师既要“治标”——传授解题技巧,更要关注“治本”——问题的本质,只有这样,才能真正提高学生的数学解题能力.

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