万有引力定律应用中学生易错点

万有引力定律应用是每年高考的必考点，此考点往往以选择题出现，此考点内容相对比较简单，如何在考试中能做对此类问题，结合学生在平时练习中常犯的一些低级错误，笔者将学生在平时学生中的常见易错点进行归类.

1天体半径和轨道半径

例1已知地球半径R，日地中心的距离r，地球公转周期T，地球表面的重力加速度g，求：（1）太阳的质量M日；（2）地球的质量M地（已知引力常量G）.

分析计算太阳质量，利用万有引力等于向心力，

GM日・M地r2=M地（2πT）2・r，

计算地球质量，利用万有引力近似等于重力，GM地・mR2=m・g，学生在计算中总把R和r弄错.

总结学生练习中总以为半径一样，随便乱用，解题开始所用条件就是错的，导致代入公式全部错误，笔者以为平时的练习中不防和学生做个简单的规定，比如以地球为例，星球的半径一般都用R表示，以卫星绕地球为例，绕中心天体转动时一般轨道半径用r表示，平时多加强化，学生一见这类问题能有个基本约束，如果知道卫星离星球表面高度为H，则卫星的轨道半径为R+H，如果是近地卫星时，由于贴近星球表面飞行，此时r=R.

2万有引力和重力关系

例2假如地球自转速度增大，关于物体重力，下列说法中正确的是

A.放在赤道地面上物体的万有引力不变

B.放在两极地面上物体的重力不变

C.放在赤道地面上物体的重力减小

D.放在两极地面上物体的重力增大

分析地球上物体m无论置于何处，地球对物体的万有引力均为GMmR2永远不变，而重力是万有引力的一部分，在赤道处重力最小，是由于此处万有引力有一部分充当了向心力F向=mω2・r，此处的r最大，重力最小，两极r=0，重力等于万有引力，此处重力最大，所以此题选A、B、C.

总结在解决很多问题时，如果不考虑地球自转，认为万有引力等于重力，即GMmR2=mg，实际由于地球的自转，万有引力大于重力，重力的定义上说重力是由于地球的吸引，而没有说地球的吸引力就是重力，万有引力一部分提供为绕地球自转所需的向心力，一部分提供为重力，在赤道上，GM・mR2=mg+mω2・R，实际分析问题时，一般均认为GMmR2=mg，读题时，要看清题意.

3最大环绕速度和最小发射速度

例3关于地球的第一宇宙速度，下面说法中正确的是

A.它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度

B.它是近地圆轨道上人造卫星的运行速度

C.它是能使卫星进入近地轨道的最小速度

D.它是能使卫星进入轨道的最大发射速度

分析发射速度是卫星在地面为火箭提供的初速度，一旦发射后再无能量补充，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度7.9 km/s，因此第一宇宙速度常称为最小发射速度.卫星绕地球飞行后做圆周运动，当卫星“贴着”地球表面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度，当卫星轨道半径变大时，运行速度变小，因此，第一宇宙速度是卫星绕地球运行的最大速度.此题选B、C.

总结学生对这两个速度描述容易混淆，在推导第一宇宙速度时，据GMmR2=mv2R，代入地球半径R和地球质量M，求出第一宇宙速度7.9 km/s，这是卫星发射离开地面贴近地球表面飞行的最小发射速度，若速度再大点，卫星将到更高轨道上绕地球运动，所以第一宇宙速度是最小发射速度，据GMmr2=mv2r得v=GMr，r是卫星轨道半径，若卫星越高则r越大，v就越小，当r接近于地面时r=R，轨道半径不能再小，此时v最大，所以第一宇宙速度又称为最大环绕速度.

4同步卫星和近地卫星及赤道上物体各个量比较

例4同步卫星周期为T1，加速度为a1，向心力为F1；地面附近的卫星周期为T2，加速度为a2，向心力为F2，地球赤道上物体随地球自转的周期为T3，向心加速度为a3，向心力为F3，则

A.T1=T3≥T2B.F1

C.a1

分析由于不知道卫星和物体质量，所以向心力大小无法判断，同步卫星和赤道上物体周期相等，但是近地卫星周期不等于赤道上物体周期，所以A不正确，比较a1和a2时，据a=（2πT）2・r，知r1>r2，而T不一样，所以a1>a2，比较a2和a3时，据a=（2πT）2・R知它们半径R一样，近地卫星周期小，地球上物体周期大，所以a2

总结解决此类问题，应让学生掌握一些结论，同步卫星是在赤道上空的某一固定高度，它的周期T=24 h，赤道上物体随地球自转，它的周期也是T=24 h，只是两者的轨道半径不一样，赤道上物体半径等于地球半径R=6400 km，而同步卫星在赤道上空离地高度约为h=3600 km，而近地卫星，它是贴近地球表面飞行，它的轨道半径等于地球半径R，根据GMmR2=m（2πT）2・R和GMmR2=mg代入数据得T=86 min，它离开了地面，但由于近地它的半径r=R=6400 km.所以分析此类问

记住T地=24 h，T同步=24 h，T近地=86 min，结合轨道半径特点，就能很清楚地分析这类问题.

5圆轨道和椭圆轨道

例5如图1所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是

A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

分析人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，

有GMmr2=ma=mv2r=m4π2T2r，

解得v=GMr，

故轨道3半径比轨道1半径大，卫星在轨道1上线速度较大，A错误；根据公式GMmr2=mω2r，解得ω=GMr3，半径越大，角速度越小，故B错误；根据公式GMmr2=ma，解得a=GMr2，故卫星在轨道2上的经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，C错误；D正确；此题选D.

总结卫星稳定运行时，速率由v=GMr判断，变轨时，则要用牛顿第二定律和轨道半径的变化进行分析.卫星不论在椭圆轨道上运行，还是在圆轨道上运行，只要位置相同，所受的万有引力是相同的，从而向心加速度相同，这是这类变轨问题分析，求解的突破口.

6双星问题

例6在天体运动中，将两颗彼此距离较近，且相互绕行的行星称为双星，已知两行星质量分别为M1和M2，它们之间距离为L，求各自运转半径和角速度.

分析双星之间有相互吸引而保持距离不变，则这两颗星一定绕着连线上某点做匀速圆周运动，设此点为O，则M1，O，M2始终在一直线上，M1和M2的角速度相等，其间的引力充当向心力，

由GM1・M2L2=M1ω2・r1，

GM1・M2L2=M2ω2・r2，

r1+r2=L，

联立求得r1=M2M1+M2L，r2=M1M1+M2L，

ω=G（M1+M2）L2.

总结学生在表示万有引力时，两颗星之间的距离常表示错，不知道构成双星系统的两颗星角速度和周期相等，因此在分析双星问题时，应教会学生如何表示两者之间万有引力，知道两颗星角速度相等，两颗星做圆周运动所绕固定点O，离质量大的星较近.有了这些知识储备，甚至能解决“三星”“四星”等问题.

笔者对学生在解决万有引力定律应用常见的错误做了归类，当然还有很多其它的错误，如果在平时学习中多引导学生归类，解题时多做归范，就一定能突破万有引力定律这个考点的薄弱环节，做到真正的解题成功.