圆锥曲线焦点弦问题的共性解法

摘要：圆锥曲线焦点弦问题一直是历年来数学高考的热点及客观题中的压轴题，但通过研究也会发现其在命题上的规律性和解答上的共性，在高考备考复习中与学生一起探讨数学问题的共性能够提高学生的解题能力和对数学的驾驭能力，何乐而不为呢？

关键字：焦点弦离心率共性

笔者曾对贵州省历年来的圆锥曲线焦点弦问题与学生（2012届）作过较一般规律性的研究，发现焦点弦的斜率、线段比、圆锥曲线的离心率之间有着一个关系式，现把研究结果与大家共享，不当之处敬请指教。

一、问题

（2013年新课标Ⅱ文科10）设抛物线C：y2=4x的焦点F，直线l过F且与C交于A，B两点。若|AF|=3|BF|，则l的方程为

（A）y=x-1或y=-x+1（B） 或

（C） 或 （D） 或

二、一般结论

过离心率为e椭圆 的一个焦点F（不妨设右焦点）的一条直线l与C相交于A、B两点，且l与x轴所成的锐角为α（如图一）。设|BF|=λ|AF|（λ>1），那么有如下结论： 。

（有了此结论，上述的高考题就变为套公式而已）

三、问题的证明

证明：（如图二）作椭圆的右准线l1，且分别过A、B作l1的垂线，垂足为A1、B1，又过A作BB1的垂线，垂足为M，由圆锥曲线的第二定义知： 。

因此在RtΔABM中，

四、变通推广

1、此结论不管是椭圆、双曲线还是抛物线皆成立（证明方法雷同）；

2、若圆锥曲线焦点在y轴上，则α表示l与y轴所成的锐角。

五、用结论解决高考题

例（2008江西卷15）过抛物线x2=2py（p>0）的焦点F作倾角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则.

解答：由题知|BF|>|AF|，故设 ，且该直线与y轴成60°的夹角

所以cos60° ，因此.

六、历年高考题欣赏

1. （2008全国Ⅱ15）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点.设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于.

2.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线 的右焦点为F，过F且斜率为 的直线交C于A、B两点，若 ，则C的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.

m A. B.C.D.

3.（2010全国Ⅱ卷理12文12）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若 ，则k=

（A）1 （B）（C） （D）2

4.（2010全国Ⅰ卷理16文16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 ，则C的离心率为 .