深悟概念 巧妙解题

数学概念是数学的灵魂，也是同学们必须掌握的重要基础知识之一. 在初中数学学习中，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和理解数学思想的基础，是提高解题能力的关键. 下面就本章所涉及的概念给大家梳理一下.

一、 锥体

1. 棱锥

棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥（如图1）.

棱：在棱锥中相邻两个面的交线叫做棱. （如图1中的棱PA，棱AB）

棱锥的侧面： 棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面. （如图1中的面PAB）

棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. （如图1中PA、PB等都是棱锥的侧棱）

棱锥的顶点：棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. （如图1中P是各个侧面的公共顶点，所以P是棱锥的顶点）

注：棱锥的侧面都是三角形，并且它们有公共的顶点.

2. 圆锥

圆锥：以直角三角形（如RtPAO）的一条直角边（PO）所在直线为旋转轴，其余两边（PA、OA）旋转所围成的旋转体叫做圆锥（如图2）. 该直角边（PO）所在直线叫圆锥的轴. 圆锥侧面展开图是一个扇形，只有下底为圆，所以从正上方（俯视图）看是一个有圆心的圆，从侧面看（主视图、左视图）都是等腰三角形.

圆锥的面：它的侧面是曲面，底面是平面.

二、 柱体

1. 棱柱

棱柱的侧面：它的侧面是平面且都是平行四边形，而直棱柱的侧面都是长方形（如图3）.

棱柱的底面：它的上、下底面是全等的多边形.

棱柱的顶点：棱柱的棱与棱之间的交点叫做棱柱的顶点.（如图3中点A，点B）

例1 正方体有_____条棱，_____个面，_____个顶点，这些面的形状都是_____.

【分析】根据已学过的正方体的概念即可得到正确答案.

解：根据正方体的特征知，它有12条棱、6个面、8个顶点，这些面的形状都是正方形.

【点拨】本题考查正方体的知识，较为简单. 正方体是实际生活中很常见的几何体，要注意掌握它的特性.

2. 圆柱

圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（如图4）.

圆柱的面：侧面是一个曲面，展开是一个矩形，上、下底面是平行且全等的圆. 所以从正上方看（俯视图）是一个圆，从侧面看（主视图、左视图）都是矩形.

三、 球体

半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面. 球面所围成的几何体叫做球体，简称球. 球体是一个连续曲面的立体图形.

例2 如图5，将下列几何体分类，锥体有_____，柱体有_____，球体有_____，由平面围成的几何体有_____，带有曲面的几何体有_____（填序号）.

【分析】几何体可以按以下情况进行分类. ①按柱、锥、球进行分类；②按围成这些几何体的面有无曲面进行分类. 最后根据图示即可进行解答.

解：柱体一般分为圆柱和棱柱，所以图示所给的柱体有：（1）、（2）、（3）；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）；球体有（4）. 若是依据几何体面的组成分类，都是平面围成的几何体有：（1）、（3）；带有曲面的几何体有：（2）、（4）、（5）.

【点拨】本题主要考查了几何体的不同分类，几何体一般分为柱体、锥体和球，或根据组成几何体的面进行分类.

四、 三视图的有关内容

1. 三视图的概念

我们从不同的方向观察某一物体时可能看到不同的图形，其中，把从正面看到的图形叫做主视图，从左面看到的图形叫做左视图，从上面看到的图形叫做俯视图.

2. 三视图的位置关系

以主视图为准，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下面.

3. 三视图之间的关系

物体一般有长、宽、高三个方向的尺寸. 如果把它的左右方向的长度称为长，前后方向的长度称为宽，上下方向的长度称为高，那么主视图将能反映出物体的长度和高度，左视图能够反映出物体的宽度和高度，而俯视图则反映出了物体的长度和宽度. 综上可归纳出：主、俯长相等，主、左高平齐，俯、左宽相等.

例3 如图6是由五块完全一样的正方体搭成的积木，你能画出这个图形的主视图、左视图和俯视图吗？

【分析】我们只需画出从正面、左面、上面看到的图形即可. 从正面看由左往右共有2列，正方形的个数依次为3和1；从左面看由左往右共2列，正方形的个数依次为3和1；从上面看由左往右共2列，正方形的个数依次为2和1. 此时画出平面图形即可.

解： 如图7.

【点拨】本题主要考查了同学们对三视图概念的理解以及对三视图的位置关系的掌握程度.

例4 图8表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）.

【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图共三列，从左到右的小立方体的个数分别是4、3、2.

解：选C.

【点拨】本题灵活考查了同学们对图形的想象力、对三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系的理解程度.

例5 用小立方块搭一个几何体使得它的主视图和俯视图如图9所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？

【分析】由几何体的俯视图可知，该几何体的最底层有7个小立方块，由于主视图的第一列有3个正方形，所以俯视图第一列上每个正方形所在位置最多均可有3个小立方块，最少只有1个正方形所在位置有3个小立方块，其余2个正方形上只有1个小立方块；主视图的第二列有2个小正方形，所以俯视图第二列每个小正方形所在位置上最多均可有2个小立方块，最少只有1个正方形所在位置有2个小立方块，其余2个正方形上都只有1个小立方块；主视图的第三列只有1个小正方形，它所在位置只能有1个小立方块. 所以这样的几何体不止一种.

解：这样的几何体不止一种摆法. 最少需要3+1×2+2+1×2+1=10（个）小立方块，最多需要3×3+2×3+1=16（个）小立方块.

【点拨】本题考查的是由主视图和俯视图来判断几何体的构成.