自由扭转等直圆杆的横截面设计探

摘 要：探讨了材料力学中杆件变形的基本形式之一：扭转变形。根据切应力计算公式，并运用数学知识，探讨了等直实心圆杆与等直空心圆杆在强度条件下所能承受的最大扭矩。目的是为了在工程中能够设计出最佳的受扭构件，使得构件能够承受更大的扭矩，达到节约材料的效果。分析可以知道，等直空心圆杆所能承受的最大扭矩是大于等直实心圆杆的，并且等直空心圆杆所能承受的扭矩是随着空心圆截面的内外半径比值的变化而变化的。探讨结论为受扭构件的界面设计做了一个参考。

关键词：材料力学；扭转；切应力；截面

中图分类号：TB 文献标识码：A 文章编号：16723198（2012）14018401

1 等直圆杆横截面的选择计算

等直圆杆在现实生活中的应用比较广泛，圆杆有空心圆杆与实心圆杆之分，设计中怎样合理的设计圆杆的横截面，才能使构件能够承受更大的扭矩。即在相同的材料用量的条件下，怎样合理设计横截面的形式，才能使得构件能够承受的扭矩更大。为了研究这个问题我们先做以下假设：（1）假设构件的变形以扭转为主，其它的变形为次而可以忽略不计，按钮转变形对其进行计算设计。（2）假设自由扭转构件的破坏是由构件的强度条件控制的，即当自由扭转截面所受的切应力达到其极限承载切应力的时候构件发生破坏。忽略刚度和稳定性条件的控制。

在材料用量相同的条件下，由于杆件的长度是确定并且相等的，那么实心圆轴杆件与空心圆轴杆件的横截面积相等。取杆件的横截面面积为1，分别进行分析讨论。

1.1 等直实心圆杆所能承受扭矩的计算

实心圆杆的横截面面积：S=πD2/4=1（D为实心圆杆的横截面直径）。可以得到：D=4π=2π，圆截面的扭转截面系：Wp=πD316=π16×（2π）3=12π，那么实心圆杆的最大切应力为：τmax=TWp=T12π=2πT，则实心圆杆所能承受的最大扭矩为T=τmax2π。

1.2 等直空心圆杆极限切应力的计算

空心圆杆横截面的内直径用r表示，外直径用R表示，其比值 α=rR（0＜α＜1）。空心圆杆横截面的面积：S′=π（R2-r2）/4=1，可以得到：R=2π（1-α2），空心圆截面的极惯性钜为：I′p=∫Aρ2dA=∫R2r22πρ3dρ=π32（R4-r4）=πR432（1-α4），扭转截面系数为：W′p=I′pR/2=πR316（1-α4），将R代入可以得到：W′p=π（1-α4）16×［2π（1-α2）］3=12π×（1+α2）1-α2，那么空心圆杆的最大切应力为：τmax=T′W′p=2πT′×1-α21+α2。

由于杆件所用的材料是相同的，因此两者的所能承受的极限承载力是相同的，即τmax=2πT=2πT′×1-α21+α2，得到T=T′×1-α21+α2，即TT′=1-α21+α2，由于0＜α＜1，所以1+α2＞1，1-α2＜1，所以TT′=1-α21+α2＜1，即T＜T′。

因此，在材料用量相同的条件下，空心圆杆所能承受的最大扭矩大于实心圆杆圆杆所能承受的最大弯矩。那么，空心圆杆所能承受的最大弯矩为：T′=τmax2π×1+α21-α2。对于该圆杆的最大切应力τmax是一个确定不变的量，因此空心圆杆所能承受的最大弯矩主要由α的值确定。下面探究空心圆杆所能承受的最大弯矩随着空心圆截面的内外半径的比值α的变化规律。令f（α）=1+α21-α2（0＜α＜1）。首先运用微分法分析f（α）的变化规律。对f（α）进行积分，f′（α）=（1+α21-α2）′=3α-α3（1-α2）32=α（3-α2）（1-α2）32，显然，由于0＜α＜1，f′（α）＞0，说明f（α）是随着α的变化而递增的函数。利用Excel绘出f（α）随着α变化而变化的图形，如图1所示。

图1 f（α）变化图有上述分析可以知道，f（α）随着α的增大而增大，并用f（α）=1+α21-a2＞1。也就是说，空心圆杆所能受的扭矩T′=τmax2π×1+α21-α2是随着α值的增大而增大的，即随着空心圆截面的内外半径的比值α的增大，空心圆杆所能承受的最大扭矩也在增大。所以，合理的增大空心圆的内外半径的比值可以提高杆件所能承受扭矩。

从f（α）的变化曲线以及f（α）的关系式中可以看出，随着α的无限趋近于1，f（α）是趋于无穷大的。也就是说当空心圆截面的内外半径的比值α趋近于1的时候，即空心圆超薄的时候，构件所能承受的弯矩是无穷大的。这种结论显然是不成立的，这是因为我们在他就这个问题的时候仅仅考虑了强度的影响条件而忽略了刚度和稳定性的影响条件，而在实际情况中我们应该综合考虑三个方面的条件限制。

2 结语

综上所述，本文是以材料力学中的切应力的计算为背景，利用切应力的计算公式，并结合数学知识，探讨了等直圆杆的横截面选择问题。通过探究，我们可以知道，相对实心圆杆来说，空心圆杆能够承受更大的弯矩。并且，对于空心圆构件，在仅考虑强度条件的影响因素下，构件所能承受的最大弯矩是随着空心圆的内外半径比值的增大而增大的。

参考文献

［1］张新占．材料力学［M］.西安：西北工业大学出版社，2005.

［2］刘鸿文．材料力学（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.