浅谈高中数学解题教学途径

波利亚在《怎样解题》中说：“教师最重要的任务之一是帮助他的学生。诚然，作为教师，最优秀的教育不是教授，而是引导。”中学数学教学的目的，归根结底在于培养学生的数学解题能力。那么，要想提高学生的解题能力，可从以下几方面入手：

一、模仿例题，积累经验

学生学习解题能力的培养首先是模仿。学习初期，模仿例题尤为重要。例题往往具有一定的代表性，在解题的过程中又渗透有解题的常规思路和格式的规范性等问题。罗增儒教授在他的《数学解题学引论》一书中说：“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意。”数学解题过程要求有严谨的逻辑性和科学的规范性，例题往往具有示范性的作用，学生可以通过例题感受解题过程中的运算、推导、论证、作图等，体会解题中的每一步骤都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，合乎逻辑性、严谨性。因此，在教学中注重例题的作用很有必要，可以让学生在典型例题中感受解题的思想和积累解题的经验。

二、正确审题，理解题意

全面掌握已知条件和设问要求，是问题解决的基础工作。审题能力的高低，直接影响到解题的成败。很多错解误解都是因为对题意没有弄清楚。因此，审题的基本要求主要就是弄清题目的两个组成部分：条件和结论。要分析已知和未知的关系，构建已知与未知的桥梁，合理联想，分析隐蔽条件，用发散的思维得到更多的隐含的信息为己所用。由于概念不清所导致的错误，例题如下：

例：判定函数f（x）=+sinxcosx-1的奇偶性。

解：f（x）=-1=cosx+-1=tanx。因为y=tanx是奇函数，所以f（x）是奇函数。

分析：奇偶函数是对于定义域关于原点对称的函数而言的，而此题中f（x）的定义域是：{x|x∈R且x≠kπ-，k∈Z}，它关于原点不对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数。

上述解法中的变形不是恒等变形，因而f（x）与函数y=tanx是不同的。

三、理清题目条件，明确解题思路

这些概念是如何下定义的，在题目的条件和结论里，与哪些定理、公式、法则有关，可否直接应用。经过深入思考之后，找一找从条件到结论缺少些什么？可以画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系，以顺利实现解题为目标。有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析才能加以揭示。例如，在解答综合问题的过程中，从探求思路，到解题方法的优化；直到反思验证结论，都要以各种数学方法来解答，比如常用的数学方法有：转化方法、数形结合方法、分类讨论方法、归纳猜想方法等。通过认真仔细的分析，解题的途径将会逐步明朗，解题计划也就随之而形成，笔者曾见到这样一道题：已知f（x）=+，求其最大值。

分析求函数最值的方法，最基本的方法是借助函数单调性求其最大值，本题已知的是函数解析式，隐蔽的是自变量的取值范围，故可以确定解题的思路；先求定义域，再判断函数单调性，进而借助单调性求最大值。而本题包含有两个根号，显然用定义法证明函数单调性存在困难，故可以通过导数法求其单调性，过程如下：

解：函数定义域为{x|-≤x≤1}

f′（x）=-

令f′（x）≥0，则-≤x≤，即f（x）在[-，]上单调递增

令f′（x）≤0，则≤x≤1，即f（x）在[-，1]上单调递减

故f（x）max=f（）=+=

因此，面对一道数学题，要先根据已知的条件提取有用的信息，确定基本的解题思路。这种基本的解题思路，大多是通过典型例题总结出来的经验。当然，也会有触类旁通的新解法，在实施的过程中，只有不断根据实际调整自己的解题思路，才能最终达到解题目的。

四、善于反思，提高解题能力

大部分的人在做题的时候，往往只关心答案。大部分老师的讲解或例题讲解，往往也是主要讲计算过程或答案。但是对整个解题思考过程，往往讲解得并不够清楚细致。只是让我们知道了计算过程，却不知道思考的过程――而这才是解题最重要的方面。这就和我们梳理知识体系一样，如果只看到表面的知识本身，而没有把握知识内在的联系，就不能够真正地做到彻底理解，也就不可能取得长足的进步。解题后的反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用的知识的回顾与思考，是提高解题能力的一个重要途径，只有这样，才能有效地深化对知识的理解，提高思维能力。如果解数学题，解一道扔一道，这样将无助于解题能力的提高。例如，上述例题，观察其结构特点，可用柯西不等式求解，过程如下：

由（ax+by）2≤（a2+b2）（x2+y2）得，（ax+by）≤，当且仅当ay=bx时取等号。

+=・+1・

≤

==

当且仅当・=1・，即x=时等取号。

柯西不等式的应用在于其结构的特点。那么就可以通过反思总结对于求f（x）=+（a，c>0）这种类型函数最值的通法，为以后快速解题提供方便。

所以解题后的反思必须做到以下两点：

1.总结经验与方法

解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行总结，从而为以后解题积累经验，培养解决能力。

2.善于推广引申

解完一题后，要善于将原来题目的题设、结论改变一下，或者互换一下，把特殊条件一般化，把一般条件特殊化，尝试举一反三，触类旁通，从而提高解题的能力。

总之，学生解题能力的提高，不是一蹴而就的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，这需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划地进行培养和训练学生，只有这样，才能真正有效提高学生的数学解题能力。

（作者单位 广东省紫金县尔崧中学）