一元二次方程中容易被忽视的条件

许多一元二次方程习题，把很容易忽视的条件溶进了题中，设置了一个或几个“陷阱”，如果掌握知识或考虑问题不全面，思维不严谨，致使在做题时，顾此失彼，或做错或漏解.举例如下，供同学们参考.

一、忽视二次项系数不为零

例1 方程（m-2）xm2-5m+8+（m-3）x+5=0是一元二次方程，求 m 的值.

误解：当 m2-5m+8=2，即 m=2 或 m=3时，该方程为一元二次方程.

剖析：忽视一元二次方程 ax2+bx+c=0中“a≠0”.应取 m=3.

例2 若 x 的方程 m2x2-（2m-3）x+1=0两实根的倒数和是S，求S的取值范围.

误解：设原方程的两实根为 x1、x2，则

S=1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m-3，

所以 m=S+32.

又Δ=-12m+9≥0，

所以 m≤34.

即S+32≤34，因此S≤-32.

剖析：当S=-3时，m=0，原方程不是一元二次方程，故正确答案应是：S≤-32且S≠-3.

二、忽视二次项系数的讨论

例3 方程 kx2+2kx+k-1=0无实数根，求 k 的取值范围？

误解：由Δ＜0得

（2k）-4k（k-1）＜0，

即 k＜0，所以当 k＜0，原方程无实数根.

剖析：此方程不一定是一元二次方程，二次项系数 k 也有可能等于0，所以应分为 k≠0和 k=0来考虑.

例4 已知关于 x 的方程（k-2）x2-（2k-1）x+k=0有实数根，求 k 的取值范围？

误解：因为原方程有实数根，

所以 k-2≠0，

且Δ=［-（2k-1）］-4k（k-2）≥0，

所以 k≥-14且 k≠2，

所以当 k≥-14且 k≠2时原方程有实数根.

剖析：题目在措词上值得注意的是，题中条件仅仅为“关于 x 的方程”和“有实数根”，并没有指出是否为二次方程和有二个实数根.因此所给的方程可能是一元二次方程有二个实数根；也可能是一元二次方程有一个实数.所以除了考虑“a≠0”外，还应考虑“a=0”的情况.

三、忽视一元二次方程有根的条件Δ≥0

例5 若 x1、x2 是关于 x 的方程 x2+（2m-1）x+m2=0的两实根，且（x1+1）（x2+1）=17，求 m 的值.

误解：由 x1+x2=1-2m，x1x2=m2，

又 （x1+1）（x2+1）=17，

得 m2-2m-15=0，

即 m=-3 或 m=5.

剖析：忽视一元二次方程有根的条件Δ≥0，即 m≤14，故 m=5舍去.取 m=-3.

四、忽视系数中的隐含条件

例6 已知关于 x 的方程（1-2k）x2-2k+1x-1=0有两个不相等的实数根，求 k 的值.

误解：由题意得Δ=（-2k+1）2+4（1-2k）＞0，得 k＜2，

所以当 k＜2时原方程有两个不相等的实数根.

剖析：误解忽视二次项系数1-2k≠0的条件和k+1必须有意义，故应补充 k≥-1 且 k≠12.

故正确答案应是-1≤k＜2且 k≠12.

例7 已知 p2-2p-5=0，5q2+2q-1=0，其中 p、q 为实数，求 p2+1q2的值.

误解：虽然 q≠0，由5q2+2q-1=0，得

1q2-21q-5=0，

又 p2-2p-5=0.

所以 p 和1p是方程 x2-2x-5=0的两个根.

由根与系数之间的关系有：

p+1p=2，p・1p=-5，

所以 p2+1p2=（p+1p）2-2・p・1p

=22-2×（-5）=14.

剖析：这里忽视了 p 和 1p 相等和不等的讨论，上面解法仅承认了 p≠1p的情况，而漏掉了 p=1p的情况，应补充.当 p=1p时，p 和1p是原方程的同一个根，而方程的根 x=1±6.

则有 p2+1p2=2p2=2（1±6）2=14±46，

所以 p2+1p2的值应为14或14±46.

五、用根与系数关系解题时，忽视“a≠0”与“Δ≥0”

例8 关于 x 的方程 k2x2+（2k-1）x+1=0的两根互为倒数，求 k 的值？

误解：因为 x1 与 x2 互为倒数，

所以 x1x2=1，即 1k2=1，

所以 k=±1.

所以所求的 k 的值为：k=±1.

剖析：本题的隐含条件“二次项系数 k2≠0”和“方程必须有实根即Δ≥0”被忽视了，正确答案应为：k=-1.

六、忽视两根的符号

例9 已知方程 x2+3x+1=0的两个根为α、β，求αβ+βα的值.

误解：因为Δ=32-4×1×1=5＞0，

所以α≠β.

由一元二次方程的根与系数的关系得：

α+β=-3，αβ=1.

所以αβ+βα=αβ+βα

=α+βαβ=-31=-3.

剖析：上述解法，没有应用根与系数的关系判断方程 x2+3x+1=0的两根的符号，算术平方根的概念也没有搞清楚.正确答案应为：

因为Δ=32-4×1×1=5＞0，

所以α≠β.

由一元二次方程的根与系数的关系得：

α+β=-3，αβ=1.

所以α＜0，β＜0.

所以原式=-α-β+-β-α=-α-βαβ

=-α+βαβ=--31=3.

（初二）

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