“一元二次方程”常见错解原因分析及教学建议

【关键词】《一元二次方程》 常见错解 原因分析 教学建议

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）10A-0084-02

《一元二次方程》是初中数学教学中十分重要的内容，也是重要的考点。但我们经常发现在学习相关知识时，有些学生由于对一元二次方程概念所隐含的条件和实质没有充分认识、理解和把握，导致思维出现偏差，理解错误，进而在运用它来解决实际问题时常会出现一些错误。现从一元二次方程概念的理解掌握以及解一元二次方程出现的常见错误，并对导致错误的原因进行分析，以期帮助学生提高对相关知识的认识和理解，培养其思维的严谨性、逻辑性和敏捷性，提升其解决实际问题的能力。

从定义上看，一元二次方程必须满足三个基本要点，即“一元”“二次”“整式”，但是在这个定义中其实隐含了一个非常重要的前提――“经过去分母、去括号、合并同类项等一系列化简、整理后”，再充分体现出“一元”“二次”“整式”的三个基本要求，这是我们判断是否为一元二次方程的根本依据，必须予以足够重视。

一、一元二次方程及相关概念理解中常见的错误

（一）不能准确认识和理解一元二次方程概念，导致错误出现

例1.判断下列方程中，是一元二次方程的是____________.

①x3-2x2+5=0；②x2=-1；③5x2-2x=x2；④5x2-6y-3=0；⑤x2-2x=x2+1；⑥2x3-x2=2x3+1；⑦x2+=2；⑧=x2-1

错解：答案中多了⑤⑦⑧，或少了②⑥.

错因分析：显然⑦⑧都不符合题意，⑤似是而非，同样⑥似非而是，应注意“整理后”这一前提，再判断是否为一元二次方程，也有部分学生认为②无意义，不是一元二次方程，这又混淆了一元二次方程的概念和方程有无实根的概念。导致出现错误的根本原因是概念理解不全面、不准确，尤其是忽略了“一个前提”重要限制。

正解：②③⑥。

（二）对含有字母系数的一元二次方程，切不可忽视二次项系数不能为零的限制

例2.若（m-3）x|m-1|-2mx-1=0是关于x的一元二次方程，求m的值

错解：由题意可得|m-1|=2，m1=-1，m2=3即m的值为-1和3.

错因分析：忽视了一元二次方程概念中，强调未知数的最高次数是2这一要求，事实上当m=3时，已知方程的最高次数是1，显然不是一元二次方程。错误的根本原因是概念的掌握不准确，不到位，忽视了重要限制。

正解：由题意得：m-1=2

m-3≠0 m=-1

（三）不可忽视了对一元二次方程一般式的这一重要概念的认识和理解

例3.解方程x2-2x=12

错解：这里a=1，b=-2，c=12Δ=-44，故原方程无实数解.

错因分析：解法错误就在没有将方程化为一般形式，而盲目乱套用公式。我们知道无论是一元二次方程根的判别式，还是用公式法解一元二次方程，都要先得到a，b，c的值才能计算，而这三个值，必须先要将一元二次方程化为一般形式才能确定。错误的根本原因是概念识记和理解不准确，忽视了需先化为一般式这一前提条件。

正解：原方程可化为x2-2x-12=0，而a=1，b=-2，c=-12

可得Δ=52，x==1±原方程的解为x1=1+，x2=1-.

（四）因疏忽对“关于某一个未知数的一元二次方程”的理解，导致错误

例4.已知x2-2xy-5y2=0是关于x的一元二次方程，则一次项系数和常数项分别是

错解：-2，-5.

错因分析：没有对一元二次方程的定义进行深刻理解，应紧扣关于x的一元二次方程的定义，即说明只有x这一个未知数，其他包括y的所有数都是已知数，所以一次项系数应该是-2y，常数项为-5y2。因此正解为-2y，-5y2。错误的根本原因是概念的认识不准确、不全面，对一元二次方程中“一元”没有足够重视。

（五）利用一元二次方程的根与系数关系时，切莫忽视方程必须有根的前提

例5.小明同学设方程x2-2x+5=0的两根是x1，x2，则下列选项正确的是（ ）？

A.x1+x2=2 B.x1+x2=-2

C.x1x2=5 D.以上都不对

错解：选择A或者C.

错因分析：利用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意方程有根（即Δ≥0）这一前提条件，不可忽视前提生搬硬套公式，事实上此题Δ=-16

正解：选D.

二、解一元二次方程中常见的错误及分析

（一）忽视了等式性质3成立的条件，导致方程失根

例6.解一元二次方程3y（2y-1）=（y+2）（2y-1）

错解：方程两边除以得（2y-1），得3y=y+2y=1原方程的解是y=1.

错因分析：等式性质3要求方程两边除以一个不等于零的整式，等式仍成立，但2y-1完全可以为零，导致方程失去一根。应移项，提取公因式后求解。

正解：移项得3y（2y-1）-（y+2）（2y-1）=0（2y-1）（2y-2）=0

x1=，x2=1，所以原方程的解是x1=，x2=1.

（二）对一元二次方程表面形式形成了思维定势，盲目利用，导致错误

例7.已知关于x的方程（m2-1）x2-（m+1）x+m=0，试求此方程有意义的条件。

错解：由题意得，（m2-1）≠0时，即m≠±1.

错因分析：看到形如ax2+bx+c=0，由思维定势的影响，错误地认为非一元二次方程莫属，而忽视了一元一次方程定义的要求和需满足的条件，因此应分类进行讨论。其错误的根本原因是想当然地认为具备了一元二次方程的表面形式，就是一元二次方程，而忽视了一元一次方程的可能。

正解：有两种情况

1.由题意得，当m2

-1=0

m+1≠0时，即m=1时，已知方程是一元一次方程-2x+1=0.

2.由题意，当（m2-1）≠0时，即m≠±1时，已知方程是一元二次方程.

三、忽视了隐含的条件，导致解决问题时出现错误

例8已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2.（1）求实数m的取值范围；（2）当x12-x22=0时，求m的值.

错解：⑴由已知一元二次方程有两个实数根，Δ=-4m+1≥0，m≤

当x12-x22=0时，即（x1+x2）（x1-x2）=0，x1+x2=0或x1-x2=0.

当x1+x2=0时，依据题意可得x1+x2=-（2m-1），-（2m-1）=0，m=

错因分析：（2）出现了错误，所求m的值一定在一元二次方程有根的前提下才有意义，这也是本题的隐含条件，是学生常常容易忽略而出错的地方。其错误的根本原因是对一元二次方程的根与系数的关系的概念没有全面、准确的理解，必须要注意有根这一基本前提。

正解：应在解（2）的基础上，注意到已知方程有两个实数根时，m的取值范围是m≤，m=不成立，故m无解；当x1-x2=0时，x1=x2，方程有两个相等的实数根，Δ=-4m+1m=，综上所述，当x12-x22=0时，m=.

四、对概念教学的反思和教学建议

上面案例中出现的常见错误，虽然形式上各有千秋，原因迥然不同，但是根本原因归结起来都是学生对基本数学概念理解不透彻，对邻近的数学概念区分和辨别不清，对数学概念不能准确把握，导致解题的失误，这也是值得我们深思的。笔者认为，造成这种结果的原因是多方面的，一方面有些教师对数学概念的重要性没有足够重视，在教学数学概念的过程中，直接陈述定义，并让学生熟记，或者由于课堂时间的关系，教师直奔例题，无暇顾及讲透概念，并试图以练代讲，但这并不能提升学生对数学概念的深刻理解，只能让学生的理解停留在表面，或一知半解，似是而非，没有从根本上理解透概念的内涵；另一方面由于学生被动地接受知识，对死记硬背基本概念感到索然寡味，对概念的理解也只是机械、表象和零散的认识，没有透彻理解，只会模仿老师解决某些典型题目，一旦遇到新的背景、新的题目便无所适从，因而在数学新课标实施的背景下，引导学生重视中学数学概念教学是很有必要的。

数学概念是客观对象的数量关系和空间位置的本质属性的反映，也是提高数学解题能力的必要条件。因此，教师应转变教学理念，高度重视对数学概念的讲解，全面、系统地传授给学生概念知识，帮助学生形成良好的概念网络，力求把数学概念讲清讲透，并使讲和练有机结合、巩固提高、相得益彰，提高教学效率。

（责编 林 剑）