时间：2022-10-18 06:09:35
代数式b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式.
根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二次方程根的情况. 反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定b2-4ac的值的符号. 即有：
b2-4ac>0？圳方程有两个不相等的实根，
b2-4ac=0？圳方程有两个相等的实根，
b2-4ac
b2-4ac≥0？圳方程有两个实根.
例1 关于x的一元二次方程（m-1）x2+
2mx+m+2=0有两个不等的实数根，求m的取值范围.
【解析】根据已知条件应满足b2-4ac>0，m-1≠0.即（2m）2-4（m-1）（m+2）>0，m-1≠0.
解得-4m+8>0，m≠1. m
变式一 关于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0有两个实数根，求m的取值范围.
【解析】有两个实数根，就说明此方程是一元二次方程，则有
（2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，m-1≠0.
即-4m+8≥0，m≠1. m≤2且m≠1.
变式二 关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，求a的取值范围.
【分析】题目只讲有实数根，有可能有一个实数根，此时方程为一元一次方程；也有可能有两个实数根，此时方程为一元二次方程. 因此，本题应分两种情况解答.
解：关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，
①若此方程为一元一次方程，则a-5=0，a=5；
②若此方程为一元二次方程，则（-4）2-4×（a-5）×（-1）≥0，a-5≠0.
解得a≥1，且a≠5.
综上所述，a的取值范围为a≥1.
例2 已知关于x的方程x2-2（k+1）x+4k=0.
（1） 求证：无论k取何值时方程总有实数根；
（2） 若等腰ABC的一边长a=4，另两边b、c的长恰好是方程x2-2（k+1）x+4k=0的两个根. 求ABC的周长.
【分析】（1） 要证明无论k取何值时方程总有实数根，只要证明b2-4ac≥0即可.
（2） 因为ABC是等腰三角形，有可能a=b=4，即方程x2-2（k+1）x+4k=0有一根为4，将x=4代入方程求出k的值，再通过解方程，求出方程的两个根；有可能b=c，说明此方程有两个相等的实根，即b2-4ac=0，这样可求出k的值，再通过解方程，求出方程的根.需要注意的是两种情况都要考虑两边之和是否大于第三边.
解：（1） b2-4ac=4（k+1）2-4·4k=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，
无论k取何值时方程总有实数根.
（2） ABC是等腰三角形，a=4，分两种情况讨论：
①若a=b=4，则16-8（k+1）+4k=0，解得k=2，x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2.
a=b=4，c=2，此时b+c>a，ABC的周长=4+4+2=10；
②若b=c，方程x2-2（k+1）x+4k=0有两个相等的实根，b2-4ac=4（k-1）2=0，k=1，x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，a=4，b=c=2，此时b+c=a，不符合题意，舍去.
综上所述，ABC的周长为10.