搞定排列组合难题14法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合的综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理.

例1 由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？

解析 由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位，共有C ，

然后排首位，共有C ，

最后排其他位置，共有A ，

由分步计数原理可知可以组成C C A =288个没有重复数字的五位奇数.

点评 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，须先安排特殊元素，再处理其他元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置.若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件.

例2 7人站成一排 ，其中甲、乙相邻且丙、丁相邻， 共有多少种不同的排法？

解析 可先将甲、乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙、丁也看成一个复合元素，再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有A A A =480种不同的排法.

点评 要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.

例3 一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

解析 分两步进行，第一步排2个相声和3个独唱，共有A 种，第二步将4个舞蹈插入第一步排好的包含首尾两个空位的6个空位中间，共有A 种不同的方法. 由分步计数原理，节目的出场顺序共有A A 种.

点评 元素相离问题，可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端.

例4 7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定共有多少不同的排法？

解析 （倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：A /A .

（空位法）设想有7把椅子让除甲、乙、丙以外的四人就坐共有A 种方法，其余的三个位置甲、乙、丙共有1种坐法，则共有A 种方法.

（插入法）先排甲、乙、丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有4×5×6×7=A 种方法

点评 定序问题可以用倍缩法，也可转化为占位插空模型处理.

例5 把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？

解析 完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有76种不同的排法.

点评 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置. 一般地，n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种.

例6 8人围桌而坐，共有多少种坐法？

解析 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有（8-1）！种坐法，即7！种坐法.

点评 一般地，n个不同元素作圆形排列，共有（n-1）！种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列，则共有 A 种排法.

例7 8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少排法？

解析 8人排成前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.先排前面4个位置上的特殊元素甲、乙有A 种，再排后4个位置上的特殊元素丙有A 种，其余的5人在5个位置上任意排列有A 种，则共有A A A 种.

点评 一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究.

例8 有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法？

解析 第一步从5个球中选出2个组成复合元素共有C 种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C A .

点评 解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.

例9 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且其中恰有两个偶数夹1，5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？

解析 把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有A 种排法，再排小集团内部共有A A 种排法，由分步计数原理共有A A A 种排法.

点评 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理.

例10 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

解析 因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空隙中选6个位置插6个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C 种分法.

点评 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C .

例11 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？

解析 这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法. 这十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数含有3个偶数的取法有C ，只含有1个偶数的取法有C C ，则和为偶数的取法共有C C +C .再淘汰和小于10的偶数共9种，则符合条件的取法共有C C +C -9种.

点评 有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰.

例12 6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少种分法？

解析 分三步取书得C C C 种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF该分法记为（AB，CD，EF），则C C C 中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），共有A 种取法 ，而这些分法仅是（AB，CD，EF）一种分法，故共有C C C /A 种分法.

点评 平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以A （n为均分的组数）避免重复计数.

例13 某城街道如图，学生张三家住A处，学校在B处，张三早上从家里出发到学校的捷径有多少条不同的线路？

解析 要使张三的行程最短，在每个岔路口处只能向东走或向北走，把每两个岔路口间向东走的记为“”向北走的记为“”. 从而每一条最近的路线可以看成是4个“”和5个“”的一个排列.与例4的方法一样，首先将9个“”排成一排，再将其中的5个“”立起来改为“”，有C 种不同的改变方法，从而张三有C 条不同的上学捷径.

点评 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题直观解决.

例14 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）

A.288种 B.264种

C.240种 D.168种

解析 B，D，E，F用四种颜色，则有A ×1×1=24种涂色方法；

B，D，E，F用三种颜色，则有A ×2×2+A ×2×1×2=192种涂色方法；

B，D，E，F用两种颜色，则有A ×2×2=48种涂色方法；

所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法. 故选B.

点评 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确，分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.