圆锥曲线中的易错问题

【摘要】 圆锥曲线问题所涉及的知识点较多，问题情形较复杂，因此在解题时往往会因考虑问题不周全，而使得答案漏解或多解，容易出错，本文归纳了圆锥曲线中常见的易错问题，并结合例题分析了出错的原因.

【关键词】 圆锥曲线；焦点；离心率；位置关系

圆锥曲线一直以来是中学数学的重、难点，有着特殊的地位，由于它所涉及的知识点较多，对解题方法的要求较高，问题情形较复杂，所以学生们做题时往往会出现“会而不对”的现象[1]，如何避免这种情况的发生，对学生掌握圆锥曲线的解题方法有着直接的关系，为此，本文列举了一些在圆锥曲线中常见的易错类型，以便引起高中生的注意.

易错点一：圆锥曲线中有关焦点，离心率等的易错问题

例1 已知椭圆 x2 2 + y2 m =1 m > 0 的离心率为 1 2 ，求解m的取值.

错解 由椭圆离心率可知e= c a ，所以e2= c2 a2 = a2-b2 a2 = 2-m 2 = 1 4 m= 3 2 .

错因分析 在做题时没有考虑椭圆焦点可能在x轴上，也有可能是在y轴上的情形.

正解 当焦点在x轴上时，由椭圆离心率知：e2= c2 a2 = a2-b2 a2 = 2-m 2 = 1 4 m= 3 2 ；

当焦点在y轴上时，由椭圆离心率知：e2= c2 a2 = a2-b2 a2 = m-2 m = 1 4 m= 8 3 .

综上所述：m的值为 3 2 或 8 3 .

易错点二：直线与圆锥曲线位置关系的易错问题

例2 求过点P 0，1 且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.

错解 设直线的方程为y=kx+1，将其代入y2=2x得k2x2+2 k-1 x+1=0（①），则可知Δ=4 k-1 2-4k2=0k= 1 2 ，所以所求的方程为y= 1 2 x+1.

错因分析 一是忽略了直线斜率存在与否的情况，二是肯定了方程（①）是二次方程.

正解 直线斜率不存在时，直线x=0是切线，符合题意.

直线斜率存在时，设直线的方程为y=kx+1，代入y2=2x得k2x2+2 k-1 x+1=0（①），

当k=0时，直线y=1与抛物线只有一个交点.

当k≠0时，则Δ=4 k-1 2-4k2=0k= 1 2 ，直线方程为y= 1 2 x+1.

综上所述：直线方程为x=0，y=1或y= 1 2 x+1.

易错点三：忽视圆锥曲线本身的限制条件而致错

例3 设双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 5 2 ，若P（0，5）到双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线方程.

错解 由双曲线的离心率e= c a ，得e2= c2 a2 = a2+b2 a2 = 5 4 a=2b，则可设双曲线方程为 y2 4b2 - x2 b2 =1.P到双曲线上的点Q（x，y）的距离为d，则d2=x2+ y-5 2= 1 4 y2-4b2 + y-5 2= 5 4 y-4 2+5-b2，所以当y=4时，d2min=5-b2=4b2=1，a2=4，所以所求的双曲线方程为 y2 4 -x2=1.

错因分析 在考虑y的取值时，没有考虑y本身的取值范围，疏忽了双曲线本身的隐藏条件.

正解 由题知， y 的取值范围为 2b，+ ∞ ，所以（1）当4≥2b即0

综上（1）（2）所述：双曲线的方程为 y2 4 -x2=1或 x2 49 - y2 49 4 =1.

易错点四：忽视圆锥曲线自身的特征而致错

例4 已知直线y=kx-5与曲线y=x2-4x+3在第一象限有公共点，则求解实数k的取值范围.

错解 由题知，曲线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，直线与y轴交于C（0，-5），所以kAC=5，kBC= 5 3 ，则当k>5时，直线与曲线在第一象限有交点.

错因分析 忽视了抛物线的增长速度比直线的增长速度快.

正解 （1）曲线在第二象限时，直线与曲线在第一象限无交点；（2）当0

综上（1）（2）（3）可知，k的取值范围为 5 3 ，+∞ .

【参考文献】

[1]曹红梅.圆锥曲线问题易错剖析[J].高中数理化（高三版），2007（11）.

[2]祁居攀.圆锥曲线易错点剖析[J].中学生数学（高中版），2010（09）：8-10.

[3]陈先睿.圆锥曲线中易错问题思考[J].科学时代，2013（02）.