随机平均法对非线性系统响应的研究

【摘要】 本文研究了DuffingVan der Pol算例，放弃了FFT（快速Fourier变换）数值方法，通过函数项级数和Fourier级数展开二次近似，逐步推导逼近了结果，这样可以使结果更具有理论依据.

【关键词】 随机平均法，DuffingVan der Pol振子，级数展开

1理论推导

同时受乘性和加性宽带随机激励的DuffingVan der Pol振子由Zhu[1]研究，作为一个例子，系统模型的方程是

x ・ ・ +（-β1+β2x2）x ・ +ω2sx+x3=xF1（t）+F2（t） （1）

其中ωsβ1β2是常量，F1（t）F2（t）是稳定的零均值各态历经过程，具有零均值和互功率谱密度如下：

si（ω）= Di π ω2-ω2i 2+4πξ2iω2iω2 （2）

其中ξi，ωi，Di为常数.

记 λ=（a2/4）/（ω20+3a2/4）≤ 1 3 （3）

β（a，φ）由Fourier级数展开可得

β（a，φ）=b0（a）+b2（a）cos2φ+b4（a）cos4φ+b6（a）cos6φ （4

所以，平均频率为

ω（a）=b0（a）=（ω20+3a2/4）1/2（1-λ2/16） （5）

然后做一个由x，x到a，φ的一个VanderPol变换，可写成2个在变换域内一阶差分方程，对方程中各项系数做Fourier级数展开，所得结果用于求解伊藤方程的漂移和扩散系数.

2.结果分析

FPK方程的2个边界是a=0和∞.如果ω20>0，a=0是一个规则边界.如果永久激励没有消失，a=∞是一个异常边界.在假设2个边界间以零概率循环FPK方程的稳态解是

p（a）= c σ2（a） exp ∫ a 0 2u（s） σ2（s） ds （6）

其中C是正规化常量，一旦p（a）得到了，p（x，x ・ ）和p（x）就可以由以下关系得出

p（E）=p（a） da dE = p（a） g（a） ，a=V-1（E） （7）

p（x）=∫ ∞ -∞ p（x，x ・ ）dx ・ =∫ ∞ -∞ p（E） T（E） dx ・ （8）

由此就得到了DuffingVan del Pol的概率密度，对其响应的性质可以进行进一步研究.

改变ξfωf的数值，功率谱密度函数的形状从窄变化到宽.对D取合适的值，方程（1）的正态激励可以变得非常小.ε由参数ρ度量ρ=σf/m，其中σ2f是激励的功率谱密度函数区域的切割，m是系统的质量.ε的度量由于它同样依靠激励频率的带宽和系统频率激励的主要频率将很困难.就此问题m=1时，σ2fF（t）的功率谱密度函数切割下方区域.乘性激励F1（t）和加性随机激励F2（t）的功率谱密度函数，其中D=0.2，ξf=5，ωf=0.5.从前文中获得概率密度函数p（a）和p（x）和模拟结果见上图左和上图右.

【参考文献】

[1]W.Q.Zhu，Z.L.Huang，Y，Suzuki，Response and stability of strongly nonlinear oscillators under wideband random excitation，Iternational Journal of NonLinear Mechanics 36 （2001）1235-1250.