关于人教版教材中两个习题的探讨

人民教育出版社2014年出版的义务教育教科书六年级《数学》中有两个习题值得探讨。

习题一 “参赛作品共有125幅，一等奖6幅，二等奖占参赛作品的16%，三等奖的数量比二等奖的数量多4%。提出用百分数解决的问题，并进行解答。”（六年级上册第93页练习19的第10题）

根据题中所给条件，容易算得二等奖的数量为20幅，又根据“三等奖的数量比二等奖的数量多4%”，可以得到算式20×（1+4%）=20.8（幅），就是说三等奖的数量是20.8幅。显然，获奖作品数量应当是整数幅，不可能是20.8幅，可见这个习题出了问题。究其原因，主要问题是出在“4%”这个数据上。一般来说，举办一次书法作品或美术作品比赛，在获奖数量分配上，三等奖的数量不可能只比二等奖数量多4%。如果我们将“4%”改成“80%”（或更大一点的百分数），则可得到三等奖的数量是36幅（或更多一点），不会出现“三等奖作品是20.8幅”的尴尬。与教科书配套的《教师教学用书》在该题的“编写意图”中指出，要使学生“进一步提高解决百分数实际问题的能力”。那就首先要使提出的问题与实际生活情况基本相符，然而该题所给出的条件与实际情况完全不相符合，因此难以提高学生解决实际问题的能力。

如果说习题中的问题是教材编写者的粗心所致，那么与教材配套的《教师教学用书》第175页上所写的“编写意图”更是令人费解。“编写意图”中指出：“第10题，让学生根据相关信息，提出用百分数解决的问题。既可以培养学生选择合适的条件提出问题的能力，又可以回顾之前所学的相关的百分数知识，理清数量之间的关系，进一步提高解决百分数实际问题的能力。例如，一等奖占参赛作品的百分之几？二等奖和三等奖分别有多少幅？二等奖比三等奖多百分之几？一等奖比二等奖、三等奖分别多百分之几？获奖的作品占参赛作品的百分之几？”

根据已知条件已经知道一等奖6幅，由计算得出二等奖20幅，三等奖20.8幅，在这种情况下，怎么能求出“二等奖比三等奖多百分之几”呢？又怎么能求出“一等奖比二等奖、三等奖分别多百分之几”呢？在教材中出现这样的问题真的令人难以相信。

习题二 “甲、乙两个足球队之间近期的5场比赛成绩如右表。如果两个队现在进行一场比赛，请预测一下哪个队获胜的可能性大。为什么？”（六年级下册第99页练习21第7题）

该题早在2006年义务教育课程标准实验教科书《数学》六年级下册第113页上就出现了。当时与该教材配套的《教师教学用书》在第165页上给出了这样的答案：“从两队的历史战绩来看，各是两胜一平两负，不相上下;从这一点来判断，两队获胜的可能性都是二分之一。但是，仔细观察可以发现：在离比赛最近的两场比赛中均是乙队获胜，说明最近乙队的状态好于甲队，由此可以预测：乙队获胜的可能性稍大一些。这种判断也有一定道理。”

笔者曾撰文（发表在《中小学数学（小学版）》2014年第12期上）指出，《教师教学用书》所说的“两队获胜的可能性都是二分之一”是错误的，说“乙队获胜的可能性稍大一些”也是不完整的。像这样的习题是不宜作为小学生的练习的。然而，在2014年人教社出版的义务教育教科书《数学》六年级下册第99页上又出现了这个习题。题目并没有变，而答案进行了修改。在与新课本配套的《教师教学用书》第205页的“编写意图”中给出了如下的答案：“第7题，答案不唯一，只要理由相对合理即可。从两队的历史战绩来看，各是两胜一平两负，不相上下，两队获胜的可能性差不多;从进球数看，在所有比赛中，甲队比乙队多进一球，甲队进球能力有可能会比乙队强些，甲队获胜的可能性大一些;但是，仔细观察可以发现，最近的两场比赛中均是乙队获胜，而且进球数也增加了，说明最近乙队的状态好于甲队，因此预测乙队获胜的可能性稍大一些。”

“编写意图”指出该题的“答案不唯一”，这里似乎给出了3个答案。为了叙述方便，把答案进行编号。答案1：两队获胜的可能性差不多。答案2：甲队获胜的可能性大一些。答案3：乙队获胜的可能性稍大一些。由于在每个答案前都给出了“相对合理”的理由，因此“编写意图”中认为这三个答案都是对的。

此题果真有这样三个答案吗？值得探讨。

首先我们来分析答案2和答案3。

如果甲同学如“编写意图”中所说的那样对比赛情况作了分析，然后回答：“甲队获胜的可能性大。”部分教师就会按“编写意图”所说，认为他分析得有理，给予“答案正确”的评价。

而乙同学如果也如“编写意图”中所说的那样对比赛情况作了分析，然后回答：“乙队获胜的可能性稍大一些。”同样会获得“答案正确”的评价。这样一来，从不同的角度进行分析，可以得出完全不同的答案，这两个答案都正确吗？

事实上，甲同学在分析中看到甲队的有利条件，而没有看到乙队的有利条件，分析问题并不全面，因而得到的结论并不可靠。同理，乙同学只看到乙队的有利条件，没有看到甲队的有利条件，得到的结论也不可靠，而且两位同学都没有考虑到甲、乙两队获胜的可能性可能相等的情况。因此，这两个答案都不能说是正确的答案。

我们再来考察答案1：“两队获胜的可能性差不多。”这里并没有回答哪一队获胜的可能性大，而是使用了“差不多”这一模糊的概念来给出答案。“差不多”与“差得多”并无明确的界线，这里“获胜的可能性差不多”是什么意思呢？似乎囊括了“甲队获胜的可能性比乙队大”“乙队获胜的可能性比甲队大”“甲、乙两队获胜的可能性相同”这些情况，如果这样，答案1也包含了答案2和答案3。因此，“编写意图”中说“答案不唯一”，并给出了这样三个答案是不妥的。值得注意的是，在答案2中说“甲队获胜的可能性大一些”，而在答案3中说“乙队获胜的可能性稍大一些”，这里分别用“大一些”和“稍大一些”表示比较结果。这样的差别是怎么得到的呢？

事实上，“编写意图”中对5场比赛情况的分析还是有可取之处的。但不能把分析的结果割裂开来当作该题的三个答案。如果我们把分析的结果“综合”起来就会发现：仅仅根据甲、乙两队前面5场这样的比赛结果，我们无法正确预测“下一场比赛哪个队获胜的可能性大”。

足球比赛的情况比较复杂，各队上场队员随时可以调整，连比赛场地（主场、客场）都会影响比赛结果。足球场上的情况也可以说是瞬息万变的。特别是对于两个实力相当的球队来说，如果仅仅根据前5场比赛结果，要预测下一场比赛哪一个队获胜的可能性大，并要说出“为什么”，真的不是一件容易的事。从《教师教学用书》对该题答案的修改可以看出，有些教师也难以给出该题的正确答案，为什么要小学生来解这样的题呢？如果我们对学生各种不同的预测都给予肯定的评价，那将不利于培养学生全面分析问题的能力。为此，笔者再次建议，像这样的习题应该从小学数学课本中删去。

（杭州师范大学教育学院 311100）