从初中数学的视角看小学数学教学

一、问题的提出

自从2001年课程改革以来，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将小学数学和初中数学整合成一本颁布，体现了义务教育的整体性，加强了小学数学和初中数学的联系，有利于更好地完成义务教育阶段的任务和目标。但是，由于我国目前学校教育的实际情况仍然是沿袭小学和初中独立建校的做法，这种办学模式事实上造成了小学（第一、二学段）与初中（第三学段）在教学方法和学习方式等方面的割裂，一定程度地影响了小学数学与初中数学的衔接，不利于初中数学的教学和学习。那么如何有效地解决这个问题呢？本文把初中数学起始年级的教学和学生学习的特点作为视角，首先分析初中一年级学生在数学学习上存在哪些障碍以及产生的原因是什么，让小学高年级教师了解初中一年级学生在学习过程中出现的与小学有关的学习障碍,然后重点分析如何使小学高年级的数学教学做到有的放矢，采取有效的策略，培养即将结束小学生涯的小学生在思维方式和学习方式上逐步与初中接轨，为升入初中打好基础。

二、初中数学教材和教学的主要特点

从数学课程标准的角度来说，初中阶段的数学内容是在小学数学基础上的进一步深化和拓展，尤其是代数思想、变量思想和推理思想的大量引入，使得初中数学无论是在内容上还是思维水平上都有了质的飞跃。初中数学主要有以下几个特点：

1．重视基础，返璞归真

小学数学知识以算术为主，初中数学知识以代数和几何为主。从小学到初中，意味着从算术到代数，从常量到变量，从直观形象的实验几何到抽象逻辑推理的论证几何的过渡和转变过程。与小学相比，初中数学的抽象性和逻辑性更强，思维方式上以抽象逻辑思维为主。因此，初中数学注重基础知识和基本技能的教学，引导学生认识初等数学的本质，返璞归真，为进一步学习数学和应用数学打好基础。

2.创设了比较复杂的现实情境，加强对数量关系的分析，培养学生用数学解决实际问题的能力

教材的编写力求贯彻理论联系实际的原则，体现知识的形成和应用过程，以实际问题为出发点和归宿。各部分内容均注意从实际问题出发，抽象出隐含在实际问题中的数学问题，建立数学模型，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题。以“二元一次方程组”为例，实验教科书改变了原教科书先集中讲概念和解法，最后讲应用的处理办法。实验教科书从实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组这种数学模型，将有关二元一次方程组的概念、解法与解决实际问题有机地结合起来，并利用这种数学模型解决更多更复杂的实际问题。

3.注重知识间的内在联系，加强数学思维能力和数学思想方法的教学

数学教学不仅要传授知识，还应注意对知识中所蕴含的数学思想方法进行提炼和总结，使学生逐步掌握这些数学思想方法，更好地理解数学的本质，并能掌握更有效的学习方法。因此各部分内容的展开应注意对数学思想方法的体现。

转化是数学中一种基本的也是非常重要的思想方法。对于转化的思想方法，给予了充分重视，多处体现转化的思想。例如，在学元一次方程组的解法时，与原教科书相比，实验教科书特别强调了将二元化为一元的消元（转化）的思想。这不仅体现在以“消元”为节名，更体现在寻找二元一次方程组的解法的过程中。再比如，在研究多边形内角和的问题中，将多边形内角和转化为三角形内角和的问题等。

4.倡导自主探究的学习方式

教材注意引导学生从身边的问题说起，呈现“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，体会数学思想方法。对于数学中的概念、法则、性质、公式和定理，教科书大多是通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目，让学生通过这些探究性活动，归纳得出结论，再对结论进行说明或论证。让学生经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展思维能力，培养自主学习的能力。

三、小学高年级数学教学应采取的策略

如前所述，义务教育的整体性和教育目标，为我们提供了思考问题的新视角。初中一年级学生数学学习存在一些问题，对小学数学教学便提出了更高的要求。作为小学高年级数学教师，一方面要了解初中数学的特点及初中生产生学习障碍的原因，站在更高的角度认识小学高年级数学教学的任务和目标；另一方面要研究如何采取有效的策略，才能使小学生打好知识技能、思维方式和学习方法的基础，升入初中后尽快地适应初中的学习。根据上文的分析及笔者的思考，现提出小学高年级数学教学宜采取的几个策略，供教师们参考。

1．教学目标应以双基目标为主线

数学课程标准所确立的无论是结果目标和过程目标，还是四基目标、总目标的四个方面，都不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志。基础知识和基本技能目标是基础、是主线，其他目标要在这个目标基础上实现，并渗透在这个过程中。同时，知识技能的学习要有利于其他目标的实现。

在小学阶段，学生除了要掌握基本的概念、法则、公式、定律外，还要重点掌握在初中阶段学习所必需的重要的知识和技能，主要有以下几方面：

（1）加强四则混合运算的训练。初中数学无论是数与代数领域，还是空间与图形、统计与概率领域，主要是通过代数式的运算和几何推理证明来解决问题，其中运算占主要部分。根据对近年来部分省市数学中考题分布情况的统计分析发现，涉及运算的题目占70%以上，推理证明不足30%。与教科书中涉及运算内容和涉及推理证明内容的分布基本一致，这充分说明了运算的重要性。初中一年级学习的主要内容之一是有理数的运算，这是初中阶段学习整式、分式、二次根式、方程、函数等代数式运算的基础。而有理数的运算，主要是在小学学习的整数、小数和分数四则混合运算的基础上，增加了负数和乘方的运算。也就是说，有理数运算的基础来自小学的四则运算。因此，在小学打好四则混合运算的基础非常重要。教师应在学生理解了四则运算的意义和法则的基础上，适当加强练习，使学生在整数、小数和分数的四则混合运算方面能够比较熟练地计算，达到较高的正确率。

（2）加强代数思想和列方程解决问题的训练。在小学阶段，运用算术方法解决实际问题是传统的重要的方法，可以提高学生分析问题的能力和思维能力。但是，在初中阶段的解决实际问题中，实际问题更为复杂，运用传统的算术方法很难解决，方程是解决复杂的实际问题的最基本的方法。为了更好地与初中进行衔接，打好列方程解决问题的基础，在小学高年级，教师应把列方程作为主要的解决问题的方法让学生掌握，使学生认识到它的重要性。

（3）渗透推理证明的意识。小学阶段的空间与图形的内容，主要是结合直观和实验的手段让学生掌握基本的几何形体的特征和周长、面积、体积等的计算，培养空间观念。在人们的传统观念中，小学几何是实验几何，很难在演绎推理证明方面有所渗透。同时，在初中阶段，培养学生的演绎推理能力是重要的教学目标之一，然而对于部分初中学生而言，这部分知识又是学习中的难点。所以，在小学高年级，就可进行演绎推理思想的渗透，从而使刚升入初中的学生有演绎推理的初步经验。

（4）渗透全面地思考问题的意识。在小学阶段，有关数的性质和计算范围仅限于非负数，而且往往不考虑0的特殊情况，如有关整数的因数和倍数的内容往往不考虑0，这种思维定势带到了初中，形成了负迁移。在初中，学习有关有理数的性质和运算时，常常要考虑0的存在。如此反差使初一学生一时难以适应，相当一部分学生产生了学习障碍。有些学生会出现如下比较低级的错误判断：任意两个数的和一定大于每一个加数、“－a”一定是一个负数、任何有理数的平方都是正数等。又如右下图，平面上有任意三点，过任意两点连一条直线，一共可以连几条？在小学一般不太考虑三点共线的情况。而在初中，就必须考虑任意三点的位置关系，分为共线和不共线两种情况，再分别解决问题。初中数学与小学数学相比，严密性明显增强，这就要求小学高年级教师应有长远眼光，在教学时注重培养学生全面地思考问题的意识。

2.处理好独立思考与合作学习的关系

数学课程标准提倡合作交流的学习方式，但现实比较残酷的是中考和高考都是独立考试，因而合作学习在初中不可能像小学那样广泛应用。因此，培养小学高年级学生具有一定的独立思考和解决问题的能力，显得尤为重要。小学数学教学中合作学习运用得较多，这样做符合课程标准的理念。问题的关键是教师应处理好独立思考与合作学习的关系，在合作学习之前要让学生先独立思考问题，每个学生有了初步的想法后再进行探究合作与交流，共同解决问题。这样将给不爱动脑思考或学习有一定困难的学生提供进步的机会，对提高他们的学习能力也会有帮助。小组合作学习与传统的教学形式不是替代的关系，而是互补的关系。不讲原则的、过多的合作学习也可能限制学生独立思考的空间，对学生个人能力的发展同样是不利的。

3．培养高年级学生掌握良好的学习方法

如前所述，刚升入初中的部分学生还没有掌握较好的学习方法，较难适应初中的学习。由于初中数学每堂课的知识容量大、难度大，学生只凭一堂课的时间很难较好地掌握所学知识，有些学生甚至还不能完全理解所学知识。基于这种情况，初中数学提倡“三先”“三后”的学习方法，即先预习后听课，先复习后做作业，先思考后动笔。因此，小学教师要注意培养高年级小学生，尤其是六年级的学生，逐步掌握“三先”“三后”的学习方法。教师应提醒学生每天进行预习，在教学中应控制讲授时间，留给学生自主学习和做习题的时间,使学生在课堂内能够有自主看书、自主思维、自主练习的机会。教师应精讲、选讲，重在引导、启发、点拨，充分体现学生的主体性，培养其自主学习的能力。

4．认识巩固和复习的重要性

根据心理学记忆的遗忘规律，学习的新知识在一周内会保持较高的记忆百分率,一个月以后会遗忘较多(见下图)。

因此，无论是在小学还是初中，适时适量的科学的巩固练习和复习是必要的，能够提高学习效率。在小学学习的数学概念、公式、法则和规律等知识，大部分在初中会进一步直接运用或加以拓展后再运用。然而，初中生对小学相关知识有所遗忘是在所难免的。因此，小学教师在日常教学中可以采取两方面的措施。一是在日常教学中的每堂数学课的最后留有一定的巩固练习时间，同时练习的形式应是丰富多样的，应让学生在理解的基础上巩固；二是应在单元教学之后进行适当的整理和复习，保证所学的新知识在一个月内得到及时的梳理和巩固，使所学的知识结构化。教师还应针对学生的练习和考试进行反馈，找出学生出现错误的原因，及时采取相应的对策，保证中等偏下的学生达到基本要求。这样，便于学生在理解的基础上形成良好的数学知识结构。在此基础上进行适当的综合练习，提高学生综合地分析问题和解决问题的能力。对于学有余力的学生，还可以适当增加探索性和开放性强的题目，使他们在数学上得到更好的发展。最后，在小学结业前的最后一学期进行总复习时，首先应把小学所学的主要知识进行比较系统的整理和复习，然后了解初中数学中有哪些知识需要小学数学知识作基础，适当加以准备和练习。如前文所述，小学数学的四则运算、各种数量关系式（模型）、列方程解决问题、简单的推理等等。

5．加强数学思想方法的教学

据悉，即将颁布的修订后的数学课程标准将传统的数学教育的“双基”改为“四基”，即增加了“基本思想、基本活动经验”这两基，这充分说明了数学思想方法的重要性。因而对学生进行数学思想方法的培养应贯穿于小学和初中，在小学数学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。同时，也能为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。在小学阶段所渗透的数学思想方法有很多，其中应用较为广泛的有符号化思想、类比思想、归纳思想、化归思想、方程思想、模型思想等。

那么作为小学数学教师，如何在日常教学中渗透数学思想方法呢？这个问题非常重要，因篇幅所限，本文不详细阐述，只提如下几点建议：

（1）比较系统地研究小学阶段的数学思想方法，把小学阶段的数学知识按照数学思想方法的应用范围进行分类和归纳整理。小学数学教师由于长期从事小学数学教学工作，如果忽视对数学专业知识的继续学习和深造，很可能导致数学知识的退化，更谈不上达到数学思想方法的较高境界。教师只有自己熟练地掌握了数学思想方法的内涵及其在各知识领域的应用，才能做到心中有数、驾轻就熟，进入小学数学的自由王国。

（2）把渗透数学思想方法作为一个重要的教学目标，而且要尽可能地在教学中体现。在近几年课程改革的大背景下，教师在教学中比较重视知识技能目标和过程性目标的贯彻和落实。但是，由于没有明确的评价标准，对过程性目标的落实程度很难有一个清晰的判断。笔者从课改以来深入实验区听课调研所了解的情况来看，教师们还是比较重视对过程性目标的落实的,但不足的是教师更多地关注了让学生在体验和探索的过程中获得知识和技能，而没有重视让学生体会获得知识和解决问题的方法，即数学思想方法的渗透往往成为被遗忘的角落。教师在教学中既要重视知识和技能的获得，也要总结和提升解决问题的思想方法。

（3）通过思想方法的教学，使学生形成举一反三的能力。人所共知，我国学生的数学基本功扎实，但这往往是教师采用题海战术式进行训练的结果，这也令人深思。实践经验表明，优秀的教师之所以在教学上取得成功，并不是因为采用了题海战术的训练，而往往是紧紧抓住了数学的本质和灵魂――思想方法,方法得当可以事半功倍。数学知识和情境丰富多彩，表面上看杂乱无章，但其数学模型是有限的，教师的主要任务就是培养学生逐步达到用有限的模型解决变化多端的数学问题，学会举一反三，这是数学学习的最高境界。