浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献

摘 要：如今微积分的应用无论是在科学研究，还是生产生活中都有着不可忽视的地位。微积分也正是在解决一些科学问题的需要下而产生的，其创立与发展离不开两位时代巨匠牛顿和莱布尼茨的贡献。莱布尼茨与牛顿在创立微积分过程中殊途同归，最终完成了创建微积分的盛业。本文便详细论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们在创立微积分时的异同。

关键词：牛顿 莱布尼兹 微积分

一、微积分的产生

微积分是微分学和积分学的总称。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。主要有四种类型的问题：第一类，变速运动求即时速度的问题；第二类，求曲线的切线的问题；第三类，求函数的最大值和最小值问题；第四类，求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。

解决这些科学问题的需要是促使微积分产生的因素。许多著名的科学家，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。同时微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。

二、莱布尼茨对微积分的贡献

莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。1673年，他提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理。1666年，莱布尼茨在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从1672年开始，他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论。他引进了微分记号“dx”来表示两相邻x的值的差，并给出幂函数的微分与积分公式。不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则。1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。

1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式，并包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。他还得出了复合函数的链式微分法则，后又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到了高阶情形。1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。此论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，说明了他的方法和符号，积分号 "∫ "第一次出现于印刷出版物上。他引进的符号体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。

三、牛顿对微积分的贡献

牛顿对微积分问题的研究始于他对笛卡尔圆法发生兴趣而开始寻找更好的切线求法。起初他的研究是静态的无穷小量方法，像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合。1669年，他完成了第一篇有关微积分的论文。论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法，还证明了面积可由求变化率的逆过程得到。而后牛顿研究变量流动生成法。牛顿第二阶段的工作，主要体现在成书于1671年的一本论著《流数法和无穷级数》中。书中叙述了微积分基本定理，对微积分思想作了广泛而更明确的说明，并最终完成了对初期微积分研究的修正和完善。

在牛顿以前，面积总被看成是无限小不可分量之和，而牛顿则从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在牛顿这里被明确地作为一般规律揭示出来，并成了建立微积分普遍算法的基础。牛顿的正、反流数术亦即微分与积分，通过揭示它们互逆关系的所谓“微积分基本定理”统一为一个整体。在这样的意义下，牛顿发明了微积分。

在《流数简论》中，牛顿还将他建立的统一算法应用于求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等问题中，展示了其算法极大的普遍性与系统性。后牛顿又努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文：《分析学》（1669）、《流数法》（1671）、《求积术》（1691）。它们真实地再现了牛顿创建微积分学说的思想历程。

四、牛顿、莱布尼创茨立微积分的比较

（一）牛顿和莱布尼茨创立微积分的相同点：

1.都使微积分不再是几何学的延伸，建立在符号运算的基础上，具有一般性，使之成具有广泛应用的学科；

2.把求积问题归结为微分问题的逆问题，从而建立了微积分基本定理；

3.把微积分建立在实无穷小的基础上，后来他们为回避无穷小运算上的矛盾，使用了极限的概念；

4.用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来；都研究了微分与反微分之间的互逆关系。

（二）牛顿和莱布尼茨创立微积分的不同点：

1.他们建立微积分的出发点不同。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分 析学方法引进微积分要领的。

2.微积分工作的侧重点不同。在积分上，牛顿偏重于求积分的逆运算，即不定积分；而莱布尼茨侧重于求微分的和，即定积分。

3.对微积分具体内容的研究不同。牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有积分概念，后有导数概念。

4.对无穷小认识的程度不一样。牛顿不分阶，而莱氏分阶，认识比前者深刻。

牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸，关心的是微积分在物理学中的应用。经验、具体和谨慎是他的工作特点。而莱布尼茨关心的是广泛意义下的微积分，力求创造建立微积分的完善体系，大胆而毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。虽然牛顿和莱布尼茨研究微积分的方法不同，但他们殊途同归，各自独立完成了创建微积分的盛业。

牛顿和莱布尼茨都是时代的科学巨人。微积分之所以能成为独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响 ，主要是由于牛顿与莱布尼茨做出的贡献。从牛顿和莱布尼茨创立微积分的过程中可以看出：当巨人的哲学的沉思变成科学的结论时，对科学发展的影响是深远的。