一级倒立摆系统的鲁棒方差控制

摘要：倒立摆是一种典型的非线性、多变量、不稳定的不确定性系统。在存在不确定建模误差和外界干扰的情况下，该文提出了一种鲁棒方差控制器的设计方法，不仅使得控制系统具有一定的协方差来保证其稳定性，而且使得控制系统可以有效抑制外界干扰对其产生的影响。实验和仿真结果表明，在存在不确定性的情况下，一级倒立摆系统在鲁棒方差控制的情况下比传统的LQ控制具有更好动态性和稳定性。

关键词：倒立摆系统；方差控制；鲁棒性

中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）05-1129-04

Robust Variance Control for an Inverted Pendulum

ZENG Lin-sen， YANG Tie-bao， MIAO Jian-wei

（School of Mechanical Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China）

Abstract： Inverted pendulum is a nonlinear， multivariable， unstable uncertain system. This paper proposes a robust variance control method to handle modeling errors and external disturbances. The control system not only has a certain covariance to ensure its stability， but also can suppress the influence of interference on the system. Simulation results show that the inverted pendulum system with the robust variance control has better dynamics and stability performance than that of conventional LQ control.

Key words： inverted pendulum system； variance control； robustness

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如鲁棒问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理不稳定性问题的能力[1]。所以对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论意义和实际应用价值。运用现代控制理论的许多结果研究倒立摆系统都是基于对象的一个数学模型，根据系统的性能要求，通过对被控对象的数学模型进行分析来设计系统的控制律，进而将所得到的控制律应用于被控对象来保证闭环系统具有所期望的性能[2]。但是真实的倒立摆控制系统总是在不断变化的环境中运行，使用精确的数学模型设计出的控制规律往往是很难保证具有所期望的性能要求。

近年来随着控制方法研究的不断发展，各种新的控制方法被提出，如模糊控制[3]，云模型控制[4]，[H∞]控制[5]，神经网络控制[6][7]等等，以上控制方法运用于倒立摆系统的研究[8][9]，已经获得了很好的控制效果。然而将这些控制方法与鲁棒控制相结合，有些的控制稳定状态方差较大[10]，有些动态性能不理想[11]，有些输出力上限并非最小[12]。基于此点，该文以一级倒立摆为例，提出采用鲁棒方差控制[13]与不确定性鲁棒[H∞]最优控制理论[8]相结合的方法设计出同时具有如下三方面性能的鲁棒控制器就能进一步改善系统的性能。（1）为了使控制系统在存在不确定性和外界的扰动的情况下，仍然能使系统稳定并保持所希望的性能。（2）通过使系统稳定状态方差不超过一定的上界来确保闭环控制系统具有所预期期望的性能。（3）设计最小能量的方差控制器是更具有实际意义，其意义在于使得控制器K的各参数值较小，利于实际控制。

1 问题描述

考虑不确定性系统如下：

[x（t）=（A+ΔA）x（t）+（B+ΔB）u（t）+Dω（t）z（t）=Cx（t）] （1.1）

[x（t）]为系统的状态，[u（t）]为系统的控制输入，[ω（t）]为外界对系统的扰动，[z（t）]为系统的输出，[A]、B和C为常数矩阵，[ΔA]，[ΔB]为具有一定维数的不确定时变的矩阵并且满足以下等式：

[[ΔA ΔB]=NF[E1 E2]] （1.2）

其中N，[E1]，[E2]为已知定常矩阵，F为不确定性函数矩阵，并且满足以下等式：

[FTF≤I] （1.3）

[γ]为一给定的正数，[[P]ii]是稳态状态方差矩阵的对角线上的第i个元素，R是一个给定的正定加权矩阵，系统具有如下性质：

（a）闭环系统时渐进稳定的且从系统的外部扰动输入[ω（t）]到系统输出[z（t）]的传递函数[Tzw（S）]的[H∞]的范数[Tzw（S）

（b）[[P]ii

[σi]（[i=1，2，???，n]）是给定的常数，[[P]ii]是稳态状态方差矩阵[P=limt∞[x（t）xT（t）]]的对角线上的第i个元。

（c）使得性能指标[J（u）=limt∞[E（uT（t）Ru）12]]最小化鲁棒方差控制器。

[E（?）]为期望算子。

2 控制器设计

2.1 LQ控制器设计【14】

当系统（1.1）中[ΔA=0]，[ΔB=0]和[ω（t）=0]时就构成规范的LQ调节器，存在以下控制规律：

[P44

使闭环系统[x（t）=（A-BK）x（t）]渐近稳定，且具有[（1/2，∞）]的增益余量和[60°]的相位欲量，同时使[J=xT0Px0]最小，其中[P=PT>0]满足Riccati方程：

[PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0] （2.2）

2.2 鲁棒控制器设计

对于[ΔA≠0]，[ΔB≠0]和[ω（t）≠0]不确定系统（1.1）和性能指标（a），存在状态反馈控制律[u（t）=-Kx（t）]，使得不确定性闭环鲁棒系统稳定的充分必要的条件是存在适当正数[γ>0]、[ε>0]和矩阵[P=PT>0]、K使得（1）闭环系统渐近稳定；（2）从系统的外部扰动输入[ω（t）]到系统输出[z（t）]的传递函数[Tzw（S）]的[H∞]的范数[Tzw（S）

由参考文献[8]可知下式是满足鲁棒[H∞]最优控制：

[xT（t）[（A+ΔA-BK-ΔBK）TP+P（A+ΔA-BK-ΔBK）]x（t）+ωT（t）DTPx（t）+xT（t）PDω（t）+xT（t）CCTx（t）-γ2ωT（t）ω（t）

由于[ωT（t）DTPx（t）+xT（t）PDω（t）

[xT（t）[（A+ΔA-BK-ΔBK）TP+P（A+ΔA-BK-ΔBK）]x（t）+γ-2xT（t）PDDTPx（t）+xT（t）CCTx（t）

其中[（ΔA-ΔBK）TP+P（ΔA-ΔBK）

[Y1AT-YT2BT+AY1-BY2+γ-2DDT+Y1CT1C1Y1+ε（E1Y1-E2Y2）T（E1Y1-E2Y2）+ε-1NNT

由Schur补性质，将（2.5）转换为矩阵不等式：

[Ω1DΩ2NXCT*-γ2I000**-ε-1I00***-εI0****-I

令[Ω1=Y1AT-YT2BT+AY1-BY2]和[Ω2=（E1Y1-E2Y2）T]。

[[P]ii

在满足以上两个性能指标外，还需满足最小能量的控制指标[13]，使其具有更好的工程实际意义：

[J2（u）=limt∞[E（uT（t）Ru（t））]=limt∞[E（xT（t）PYT2RY2Px（t））]=Trace[Y2PXPY2TR]≤Trace[SY2P（SY2）T]] （2.8）

其中[R=STS]和[P-1=Y1]，通过使[J2（u）]最大值最小化来求解（令[V=J2（u）]）：

min（Trace（V））

[-VSY2（SY2）T-Y1

在满足2.4、2.5、2.7式和[Y1]、[Y2]、V、[ε]有解的情况下，则[u（t）=Kx（t）=Y2Y1x（t）]。

3 单级倒立摆的建模

图1 单级倒立摆的物理模型

为了保证倒立摆的线性化数学模型，必须满足摆杆的摆角足够小[15]。于是将[sin（θ）≈0]和[cos（θ）≈1]采取近似化处理，不难得出单级倒立摆的数学模型：

[r′r″θ′θ″=01000-（I+mL2）bI（M+m）+MmL2m2gL2I（M+m）+MmL2mLcI（M+m）+MmL200110-mLbI（M+m）+MmL2mgL（M+m）I（M+m）+MmL2-c（M+m）I（M+m）+MmL2rr′??′+0I+mL2I（M+m）+MmL20mLI（M+m）+MmL2u+00.100.1ω] （3.1）

[y=rθ=10000010rr′θθ′+00u] （3.2）

其中[r]、[r′]、[r″]分别为小车的位移、速度和加速度，[θ]、[θ′]、[θ″]分别为摆杆的角度、角速度和角加速度。摆杆的质量m=0.0737kg，小车的质量M=0.618kg，摆杆的质心到转轴的距离L=0.1225m，b为导轨与小车间的阻尼系数，c为摆杆与小车间的阻尼系数，g为重力加速度，[I=lm23]为摆杆的转动惯量，u为控制输入，[ω]为方差为1平均值为0的白噪声。

4 倒立摆的仿真实验与结果

取Q=diag{100 1 100 1}， R=1。LQ控制规律为：

[u（t）=-K0x（t）=[22.3607 12.6847 -41.2625 -5.0297]]

小车m为原来的1.2倍，稳态状态方差满足[P11

鲁棒方差控制（满足（2.6）和（2.7））和鲁棒方差最小能量控制规律（满足（2.6）、（2.7）和（2.9））分别为：

[u（t）=KRx（t）=[ 5.0657 5.5534 -29.1564 -2.0456]]

[u（t）=KR′x（t）=[ 4.3546 4.6578 -26.2358 -1.7946]]

一级直线倒立摆系统的初试状态为：小车的位置为导轨的中间（r=0），摆杆垂直向上（[φ=0°]）。小车的质量m变为原来质量的1.1倍，其他条件均不变。倒立摆保持平衡时，对其位移施加0.1m的扰动进行仿真。

图2 鲁棒方差控制与LQ控制时小车的位移曲线和速度曲线的仿真

图3 鲁棒方差控制与LQ控制时摆杆角度曲线和角速度曲线的仿真

图2、图3为用鲁棒方差控制与LQ控制时，系统输出响应在稳定性能和动态性能上的对比效果。图2中鲁棒方差控制最大负向位移为0.1089m左右，最大正向位移为0.0033m左右，达到稳定的时间约为2.67s；而LQ控制控制最大负向位移为0.1183m左右，最大正向位移为0.0450m左右，达到稳定的时间约为7.34s。鲁棒方差控制稳定性明显优于LQ控制。图3中鲁棒方差控制的负向最大为0.0299，正向超调量为0.0117，远小于LQ控制的负向最大为0.0784，正向超调量为0.0944；在摆杆角速度的响应稳定时间上，LQ控制约为7.31s，鲁棒方差控制仅约为1.72s。但是，动态响应时间明显缩短，动态响应效果得到了提升。

图4 鲁棒方差控制和鲁棒方差最小能量控制时控制力曲线的仿真

图4为用鲁棒方差控制与最小能量鲁棒方差控制时，控制力输出的对比效果。在1s之内能量输出偏离0的距离有明显的差距，在1s之外几乎没有差距。经过计算得出鲁棒方差控制的能量上界为[J2（u）≤4.0343]，最小鲁棒方差能量上界为[J′2（u）≤1.1386]。能量上界明显减小。

5 结论

本文提出的最小能量鲁棒方差控制能够在存在一定误差范围内的情况下实现对一级倒立摆系统的控制，设计出来的系统比传统LQ控制具有更好的瞬时性和稳定性，最小能量输出是更具实际意义的，其能够使得控制器K的参数更小，有利于实际控制。仿真结果验证了上述结论。

参考文献：

[1]Biling S A， Tsang K M. Spectral analysis for nonlinear systems. Part Interpretation of nonlinear frequency response function[J].Mechanical Systems and Signal Processing， 1989， 3 （4） ：341-359.

[2] 吴麒.自动控制原理[M].北京：清华大学出版社，1990.

[3]S. Yasunobu， M. Mori. Swing up Fuzzy Controller for Inverted Pendulum Based on a Human Control Strategy[D].University of Tsukuba，1997.

[4] ZHANG Fei-zhou， FAN Yue-zu， SHEN Cheng-zhi， Intelligent control inverted pendulum with cloud models[J]. Control Theory and Applications，2000，17（4）：519-523.

[5] 解学书，钟宜生. [H∞]控制理论[M].北京：清华大学出版社，1994.

[6] F. Bouslama， A. Ichikawa. Application of neural network to fuzzy control[J].Neural Networks，1993，6：791-799.

[7] C. W Anderson.Learning to control an inverted pendulum using neural networks[J].IEEE Control Systems Magazine，1989，9（3）：31-37.

[8] 薛安克.鲁棒最优控制理论与应用[M].北京：科技出版社，2008.

[9] 李洪兴，苗志宏，王加银.四级倒立摆的变论域自适应模糊控制[C].中国科学.E辑，2002，32（1）：6s-7s.

[10] 于丁文，纪启永，李洁敏.单级倒立摆的鲁棒控制研究[J].仪器仪表学报，2010，31（8）.

[11] 李红涛，李毅华，曾莹，基于BP神经网络的广义预测控制算法在以及倒立摆控制中的应用[J].陕西科技大学学报，2008，26（8）.

[12] 陈星，魏衡华，张玉斌.二轮行走倒立摆系统建模与鲁棒方差控制[J].计算机仿真，2006，3（23）.

[13] 俞立.鲁棒控制——线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社.2002.12.1.

[14] 王令军，等.单级倒立摆LQR控制仿真[J].信息技术与信息化，2006（4）：104-141.

[15] 张丽娟，涂亚庆，王保中.小车一倒立摆系统数学模型[J].中南大学学报，2005（8）：199-202.