排列组合易错点分析

排列组合问题内容抽象，题型多样，解法灵活，不易掌握. 在解决这类问题时容易因为概念不清、考虑不周、忽视条件、建模不当、思维混乱等出错.现将排列组合问题中的常见错误进行归纳，供大家参考.

1. 误用“加法” “乘法”原理

例1 有4名同学去争夺3个项目的冠军，不允许出现并列冠军，则共有多少种不同的结果？

错解 完成这件事分四步：（1）第1名同学去争夺冠军，有3种不同结果；（2）第2名同学去争夺冠军，有3种不同结果；（3）第3名同学去争夺冠军，有3种不同结果；（4）第4名同学去争夺冠军，有3种不同结果；根据分步计数原理，共有3×3×3×3=81种不同结果.

分析 完成这件事的分步方式不当，这种分类方式可能导致其中有1项冠军不止1人获得，不合题意.本例可归结为：“被分配元素”是3个冠军，“接收单位”是4名学生，需要分3步完成.一般地，若“被分配元素”个数是[n]，“接收单位”的个数是[m]，则不同的分配方法有[mn]种.

正解 完成这件事分三步：（1）确定第1个项目的冠军，有4种不同结果；（2）确定第2个项目的冠军，有4种不同结果；（3）确定第3个项目的冠军，有4种不同结果.根据分步计数原理，共有43=64种不同结果.

2. 混淆“排列”“组合”概念

例2 身高各不相同的7名同学站成一排，要求正中间的最高，左右两边身高从中间到两边顺次递减，这样的排法共有 种.

错解1 完成这件事分三步：（1）身高最高的同学站中间，有1种排法；（2）从其他6名同学中选出3人站左边，共有[A36]种排法；（3）将剩余的3人排在右边，共有[A33]种排法；不同选派方法共有[1?A36A33=720]种排法.

错解2 身高最高的同学站中间，有1种排法；再从其他6名同学中选出3人站一边，共有[C36]种排法；因为两边可以交换，所以不同选派方法共有[1?C36A22=40]种排法.

分析 混淆排列、组合概念，本题看似是排列问题，实则是组合问题.对于错解1（2）中站在左边的3名同学一旦选定，顺序就是唯一确定的，应该是组合问题，不同选法种数是[C36]，而不是[A36].对于错解2，设身高由高到低的7名同学的编号为7、6、5、4、3、2、1，则对于排法数[C36]，排列1237654和4567321被视为不同的结果，所以不需要乘[A22].

正解 完成分派任务分三步：（1）身高最高的同学站中间，有1种排法；（2）从其他6名同学中选出3人站左边，共有[C36]种排法；（3）将剩余的3人排在右边，共有1种排法；不同选派方法共有[C36=20]种排法.

3. 转化“至少”“至多”出错

例3 10件产品中有2件次品，从中任意抽取3件，其中至少1件次品的抽法数有多少种.

错解 完成这件事分两步：（1）从2件次品中抽取1件次品，有[C12]种抽法；（2）从余下9件产品中抽取2件产品，有[C29]种抽法；不同抽法共有[C12C29=72]种.

分析 错误地采用保底的思维方式，分步计数时两步之间并不独立导致重复计算，设2件次品的编号为a，b，8件正品的编号为1，2，3，…，8，“从2件次品中从抽取1件次品a，从9件余下产品中抽出b、1”和“从2件次品中从抽取1件次品[b]，从9件余下产品中抽出[a]，1”应该是一种抽法，但是在错解中计算了2次，正确解法应该采用正面分类、合理分步相结合的方式.

正解 完成这件事分两类：（1）抽出1件次品和2件正品，不同抽法共有[C12C28=56]种；（2）抽出2件次品和1件正品，不同抽法共有[C22C18=8]种. 不同抽法共有[C12C28+C22C18=64]种.

4. 计数出现重复、遗漏

例4 从1，2，3，4，7，9这6个数中任取2个数分别作为一个对数式的底数和真数可以组成多少个不同对数值？

错解 完成这件事分三类：（1）若1是真数，则2，3，4，7，9中任意一个是底数，只有1个对数值0；（2）若2，3，4，7，9中任意一个数是真数，则除1和选定的真数之外的4个数中任意一个是底数，有[A25]个不同对数值；根据分类计数原理，共有[1+A25=21]个不同对数值.

分析 没有注意到对数性质[loganbm=mnlogab]，如[log94=log32]等，出现了重复计算情况.

正解 完成这件事分3类：（1）若1是真数，则2，3，4，7，9中任意一个是底数，只有1个对数值0；（2）若2，3，4，7，9中任意一个数是真数，则除1和底数之外的4个数中任意一个是底数，由于[log94=log32]，[log49=log23]，[log24=log39]，[log42=log93]，因此，有[A25-4]个不同对数值.根据分类计数原理，共有[1+A25-4=17]个不同对数值.

5. 分组问题没有消序

例5 现有6本不同的书，平均分成三堆，共有多少种不同的分法？

错解 完成这件事分三步：（1）从6本书中抽取2本书，有[C26]种抽法；（2）从4本书中抽取2本书，有[C24]种抽法；（3）从2本书中抽取2本书，有[C22]种抽法. 不同分法共有[C26C24C22=90]种.

分析 将6本不同的书平均分成三堆分三步完成带来先后顺序，导致重复计算.设6本书的编号为1，2，3，4，5，6，取法“先取1，2，再取3，4，最后取5，6”与“先取3，4，再取1，2，最后取5，6”应该理解为相同的分法，但是，在错解中却被理解为不同的结果，同一分组方法在错解中计算了[A33]次，按照题意只能算1次.

正解1 6本不同的书平均分成三堆的不同分法共有[C26C24C22A33=15]种.

正解2 把6本不同的书平均分成三堆，与“把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本”的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人.因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有[x]种，那么把六本不同的书平均分给甲、乙、丙三人的分法就有[x?A33]种，而把六本不同的书平均分给甲、乙、丙三人的方法有[C26C24C22]种.所以[xA33=C26C24C22]，则[x=C26C24C22A33=15]种.

6. 建立数学模型出错

例6 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）

A.144 B.120

C.72 D.24

错解 问题相当于将3把无人坐的椅子排成一排，3人带3把椅子插空就坐的不同坐法种数.完成这件事分两步：第一步，将3把无人坐的椅子排成一排，有[A33=6]种排法；第二步，将3个人连同所坐的椅子插入3把空椅子所形成的4个空隙中，有[A34=24]种不同结果.因此，不同坐法有[A33A34]=144种.

分析 上述思路是采用建模法，应该注意空的椅子是没有区别的.因此，将3把无人坐的椅子排成一排，应将3把无人坐的椅子视为3个相同元素排成一排，与顺序无关，只有1种排法.

正解 问题相当于将3把无人坐的椅子排成一排，3人带3把椅子插空就坐的不同坐法种数.完成这件事分两步：第一步，将3把无人坐的椅子排成一排，有1种排法；第二步，将3个人连同所坐的椅子插入3把空椅子所形成的4个空隙中，有[A34=24]种不同结果，因此，不同坐法有[1?A34=24]种选法.

答案 D