记一堂排列组合课

【摘要】数学课要走重基础,提高思维水平和创新能力的新路,学生要学会提出问题,解决问题,不光要培养浓厚的学习兴趣,还要培养较强的动手能力,良好的思维习惯,要变被动学习为主动学习,把求知欲和积极思考问题解决问题结合起来,本文就此把排列组合这堂课的必有问题逐一做一个分析,并阐述一些个人的思考。

【关键词】数学 排列组合 例题分析

Records a hall arrangement combination class

Wang Tao

【Abstract】The mathematics courses needs to walk the heavy foundation, raises the thought level and the innovation ability new path, the student must learn to ask the question, solves the problem, not only need raise the strong study interest, but must raise the strong beginning ability, the good thought custom, must change the passive learning is the active learning, the intellectual curiosity and pondered positively the question solves the problem to unify, this article combines the arrangement this hall class to in light of this have the question to do one by one an analysis, and elaborates some individual ponder.

【Keywords】MathematicsArrangement combinationSample question analysis

我于近日观摩了本校同行老师的一节排列组合课,对如何在新课程改革下进行数学教学引发了一些思考,数学课要走重基础,提高思维水平和创新能力的新路,学生要学会提出问题,解决问题,不光要培养浓厚的学习兴趣,还要培养较强的动手能力,良好的思维习惯,要变被动学习为主动学习,把求知欲和积极思考问题解决问题结合起来,在老师的引导和启发下,从简单问题入手,实事求是,脚踏实地,学一题,得一题,搞扎实一题,弄清楚道理。这里我就把这堂课的必有问题逐一做一个分析,并阐述一些个人的思考。

1.判断下列问题是组合还是排列问题。

①集合A={a、b、c、d、e｝,则集合A含有3个元素的子集合有多少个?

一目了然,组合问题。集合A含有3个元素的子集有C25=10(个)。

②某铁路线是有5个车站,则该铁路线上需准备多少种车票?有多少种不同票价?

我们在回答应准备多少种车票时,可以回答为排列问题,列式为A25=20(种)。但是我们同样可以回答为组合问题,列式为:2C25,为什么?因为可以认为去程C25,回程C25,共2C25,我们如果能引导学生思维为2C25,这说明课堂创新是可认为有所作为的,而不是僵固不变的。

当然有多少种不同票价,去程、回程票价是一样的,共C25种。这道题既启发了思维,又符合新课程要求,真是一举两得。

③10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种方法?

先组合,后排列。为什么?10人分2组,每组5人,分完5人去数学组,反之亦然,就是方法重复,分1次就等于分2次,等为:C510/A22=15/20(种),即共有分法15/20种。

④10人聚会,每两人之间互相握手问候,共需握手多少次?

明显的组合问题,C210=45(次)

⑤从4个景点选2个游览,有多少种不同的方法?

组合问题,共C24=6种方法。

⑥从4个景点选2个游览,并确定这2个景点的顺序,有多少种不同方法?

可以回答为排列问题,A24=12种不同方法,也可以回答为先组合后排列问题,应列式为:C24•A22=12种不同方法。

2.(2008宁夏理)甲乙丙3位志愿者安排周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一个,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有()(种)。

A.20B.30C.40D.60

析:甲安排在周一,乙、丙则安排在余下4天中任意2天,甲A24,或C24•A22;甲安排在周二,乙、丙则安排在余下3天中任意2天,甲A23,或C23•A22,甲安排在同三,乙、丙只能安排在余下2天,为A22,或C22•A22,共有不同的安排方法:A24+A32+A22=20(种),选A。

3.(练习,2008陕西理)某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成。若首火炬手只能从甲乙丙三人中产生,最长一棒火炬手只能从甲乙两人中产生,则不同的传递方案共()种。

析:首棒选甲,则尾棒只能选乙。中间4棒可选方案为A44=24(种);首棒选乙,则尾棒只能选甲,仍为A44=24(种);首棒选丙,则尾棒选甲、乙中选择,另案为C12A44;即48种,等式列为A44+A44+C12A44=96(种)。但是这个问题还可以进行如下理解:首棒选甲、乙之一,则中间4棒为A44,列式C12A44,首棒选丙,则尾棒选甲、乙之一,中间4棒为A44,列为C12A44,可列式为C12A44+C12A44=96(种)。还可以列为:首棒选甲、乙、丙之一,但注意选了甲、乙之一为首棒,则尾棒只能是甲或是乙,为C13A44+A44=96(种),三种方法、三种思路,各尽其妙,只要我们多开动脑筋,那么形式将多彩、丰富,内容也将开比宽广。

4.今有10幅画将被展出,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画。现将它们排成一排,要求同一品种的画必须连在一起,且水彩画不放在两端,则不同的排列方式有()种。

析:两端的位置是需给油画、国画的,共A22种排法,则总体排法为:A22A44A55(种)。还可以列成:前端放4幅油画,则尾端放5幅油画,成为:A44A55,或前端放5幅国画,则尾端放4幅油画,应列式为:

A44A55+A55A44=2A55A44(种)。

5.(2008四川文)从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少1人参加,则不同方法有()种。

析:排除法:C410-C48=140(种)

直接法:C12C38+C22C28=140(种)

6.对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好居第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有几中可能?

析:第5次发现最后一件次品,前面4次发现3件次品,1件正品,但位置不固定,列式为:C14•(C33•C16•A44)=576(种)

7.(2008安徽理)12名同学合影,站成前排4人,后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人相对顺序不变,则不同调整方法总()

A.C28A23B.C28A66C.C28A26D.C28A25

析:调上来的2人无非是挨在一起和前排原来4人排一排,或者一头一尾中间为原前排4人,无论怎样都是6个位置挑2个排,当然就是A26C28,选C

8.如图,一圆环可以分成A、B、C、D四段,现有4种不同的花供选种,要求每段圆环种一种花,且相邻的2段种不同的花,则不同的种法可为()种。

A.96B.84C.60D.48

析:正确理解和分析此问题非常重要,这就是逐区分析。A区可选4种花之一,B区可选A区外3种花之一,C区可选B区外3种花之一,D区可选A、C区外的花之一种,(可能为3种之一,2种之一,1种之一)。据此可分成:A、C区花种相同和A、C区花种不同2类情况。当A、C区花种相同时,A区可选C14,B区可选C13,D区也可选C13,为C14•C13•C13=36(种);当A、C区花种不同时为,A区可选C14,B区可选C13,C区可选C12,D区可选也为C12,故应为:C14• C13•C12•C12=48种,合计84种。选B。本题也可以这样理解:种2种花,只种在AC、BD两大片区选种,为C24A22,种3种花,比如B、D不同,A、C相同,为A34A12;(A12的情况是2个区域种同一种花);种4种花,为A44,列式:C24A22+ A34A12+A44=84(种)。

9.(2008天津理)有8张卡片,分别标有字1、2、3、4、5、6、7、8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有2张中间行卡片之和为5,则不同排法为()种。

A.1344B.1248C.1056D.960

析:本题采取排除法为宜。中间行字和为5,无非1、4或2、3两种情况,我们就中间行为1、4的情况讨论一下,中间行为2、3的情况与中间行为1、4情况同理。在此情况下,中间行1、4的位置可互换,应为A22。其余6可选4个位置排列,排除2、3同行的情况,问题基本解决。2、3同行,注意互换,为A22,其余一行4数选2的排列为A24,注意2、3同行可同在第1行或同在第3行,为2A22,于是我们必然得出A22(C26A44-2A22A24)=624种,加之中间为2、3的情况,则应得:2A22(C26A44-2A22A24)=1248种。因此应选B。

10.一天要排语、数、英、体、班会等6节课。要求上午四节课中,第一节不排体育,数学排在上午。下午两节课中有一节排班会,共有多少种不同排法?

析:数学排第1节,班会排下午,就是其余4节课中拿3节排上午,拿1节和下午的班会全排列,A34A22;数学排第2节,则第一节除体、数、班外3选1,A13,上午3、4节体育可排,3选2,得A13A23A22;数学排第3节,第1节仍是体、数、班会外3选1,其余3选2,A13A23A22;数学若排在第4节,第1节仍是除体、数、班会外3选1,A13。其余上午2节课,体育也可排,3选2,A23。还是A13A23A22;故应列式为:A34A22+3A13A23A22=156(种)。

从这节课中,我们不难看出,新课程数学教学重在抓基础,重在发掘每个学生自身潜力,激发他们求知、探索、创新的学习兴趣,培养良好的学习能力。养成在学习中多角度看问题,从而取得良好的学习效果,培养创新思维能力,新课程之所以区别旧课程,这就是个显著的特点。我们要真正把握这个重点方向,切合自身的实践,积累经验,发现亮点,突出教育教学核心价值,把培养21世纪创新型人才作为发展目标,真正转变教育、教学模式和手段,确保向课堂45分钟要效益,那么,我们就会在教学过程中大有作为,开创一片广阔天地。