浅谈矩阵特征值的应用

摘 要: 本文主要介绍了矩阵的特征值在矩阵多项式、矩阵对角化、计算矩阵高次幂及实际问题中的应用。

关键词: 矩阵; 特征值

中图分类号: D151.21 文献标识码: A 文章编号:1009-8631(2010)04-0123-02

讨论矩阵特征值的应用

(一)矩阵特征值在矩阵多项式中的应用

定理2.方阵的特征值与其行列式的关系:设n阶方阵A=(aij)m×n的特征多项式为:fA(λ)=λE-A=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an,则:

(1)a1=-(a11+a22+…+ann)=-(λ1+λ2+…+λn)

(2)an=(-1)nA=-λ1・λ2…λn

注:(1)当A可逆时,A= λi≠0 λi≠0(i=1,2,…,n);A不可逆时,A的特征值λ≠0

(2)方阵A可逆 aE-A≠0 数a不是A的特征值

当a是A的特征值时,aE-A不可逆

当a不是A的特征值时,aE-A可逆

例5.试证明:四阶行列式D= =(a2+b2+c2+d2)2a

解:令D所对应的四阶行列式为:A=

则λI4-A=[(λ-a)2+b2+c2+d2]2

A的特征值为:λ1=λ2=a+ ,λ3=λ4=a-

D=A=λ1・λ2・λ3・λ4=(a2+b2+c2+d2)2

评注:如果利用行列式的定义直接做,势必会比较麻烦.在此处利用行列式与特征值的关系则简化了计算。

(二)方阵的特征问题在方阵对角化及求矩阵高次幂中的应用

方阵的特征值和特征向量的一个重要应用就是将方阵化为对角阵。

所谓方阵A可对角化,是指A能与对角阵B=diag【λ1,λ2,…λn】相似,即存在一个可逆矩阵P,使得P-1AP=B其中λ1,…,λn是n阶方阵A的特征值。

判断方阵A是否可对角化,可按下列思路进行:

思路1.计算出A的特征值,如果A得所有特征值两两互异,则A可对角化(充分条件)。如果A的特征方程有重根;在计算对应每个特征值的特征向量,如果有n个线性无关的特征向量,则A可对角化(充要条件)

思路2.不计算方阵A的特征向量,只需计算A的特征值两两互异,则A可对角化。

思路3.计算方阵A的特征值,不计算A的特征向量,只需计算特征矩阵λE-A的秩,如果对于每个Ki重特征值λi的特征矩阵λiE-A的秩等于n-Ki

即秩(λiE-A)=n-Ki,则方阵A可对角化,否则A不可对角化。

思路4.不计算方阵A的特征值和特征向量,只需证明存在可逆矩阵P和对角矩阵B使得P-1AP=B,则A与B相似,即A可对角化。(定义)

对于一般矩阵一般采用思路1,思路2和思路3。

例6.已知

A= (1)将A化为对角阵;(2)求AK

【分析】矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的,这里因矩阵A为实对称矩阵,故可对角化,可按上面讨论的方法求之。

解:(1)求A的特征值,由方程:

A-λE= =(λ+1)2(5-λ)

得λ1=5,λ2=λ3=-1

对λ1=5,解方程(5E-A)X=0

故得基础解系为:=(1,1,1)T

对λ2=λ3=-1,解(-E-A)x=0

故得基础解系为: α2=(-1,1,0)T,α3=(-1,0,1)T

α1,α2,α3线性无关

A可对角化。令P= ,则P-1AP= =B

(2) AK=PBKP-1=

=

(三)特征值在实际问题中的应用

现实中的问题通常是连续变化的,但是我们常常只能在离散的时间点上进行观测和描述.为了表达这一类的问题,我们引入差分方程的方法,要理解由差分方程所描述的动态系统的长期行为或演化,关键在于(掌握)特征值和特征向量.差分方程可以建立人口迁移模型,种群增长模型,长染色体遗传问题等,为了便于理解,下面主要针对生态问题。

在南美洲北部的亚马孙草原中,长毛狮是羚羊的主要捕食者,其多达80%的食物都来源于羚羊。

问题假设:

(1)如果没有羚羊做食物,每一个只有 的长毛狮可以存活;

(2)如果没有长毛狮作为捕食者,羚羊的数量每个月会增加10%;

(3)如果羚羊充足,长毛狮增加的数量为:羚羊数量的0.5倍;

(4)长毛狮的捕食所导致的羚羊的死亡数量为:长毛狮数量的r倍。

试问:

①当捕食者参数r=0.12时,试确定该系统中长毛狮和羚羊的具体数量;

②当捕食者参数r=0.12时,试确定该系统的演化趋势;

③试确定一个具体的r值,使得长毛狮与羚羊终将灭绝。

解:①记长毛狮和羚羊在k月时的数量分别为Xn(个),yn(千),则

x =0.4x +0.5y y =-0.12xn+1.1y (1)

即:==A(2)

从而该问题转换为求An的问题。

(1)的系数矩阵A=

其特征值为: λ1=1,λ2=0.5

对应的特征向量为: =(5,6)T =(5,1)T

令P=(α1,α2),则P-1AP=

从而An=P P-1=

xn+1=(-0.2+1.2×0.5n)x1+(1-0.5n)y1

xn+1=( ×0.5 )x1+(- )y1

(x1,y1分别为此系统中原有的长毛狮与羚羊的数量)

② 初始向量(x0,y0)T可写成(x0,y0)T=c1+c2

对于n≥0时,(x0,y0)T=c1+c2(0.5)n

当n∞ ,(0.5)n0,设c1>0

则对于足够大的n,(xn,yn)T近似的等于c1

即(xn,yn)T =c1(3)

说明了当r=0.12时,长毛狮和羚羊每个月均处于稳定状态,即0增长,且系统中长毛狮和羚羊的比例为5:6,即5只长毛狮对应6000只羚羊。

③λE-A= =λ2-1.5λ+0.44+0.5r

则λ1,2=

令r=0.24,则λ1=0.8(

对应的特征向量为: =(5,4)T, =(5,3)T

(xn,yn)T =c1(0.8)n+c2(0.7)n

当n∞时,(0.8)n0,(0.7)n0

则当n无穷大时,长毛狮与羚羊均趋于零,即终将灭绝,此时为了保证此系统生态平衡,需对其作出适当调整,引进羚羊或者引进长毛狮的天敌等等。

【结论】由此可以看出:特征问题对于生态问题,有着很大作用,可以利用其确定系统中物种的演化;系统中某一物种的具体数量;可以通过一些数据来预测物种的状态;趋于增长,稳定状态或者处于下降并趋于灭绝的状态,从而适时的对其作出调整,使生态处于平衡状态。

参考文献:

[1] 北京大学数学系.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.9.

[2] 易大义,陈道琦.数值分析引论[M].杭州:浙江大学出版社,1998.

[3] 线性代数能力测试题解[M].武汉:华中理工大学出版社,2007.8.

[4] 钱吉林.高等代数题解精萃[M].北京:中央民族大学出版社,2002.10.

[5] 李志林,欧宜贵.数学建模及经典型案例分析[M].北京:化学工业出版社,2007.4.