在变式中感悟,在感悟中提升

摘 要： 新课程的核心理念是“为了每一个学生的发展”。教师在课堂教学中，不仅要教会学生如何解题，而且要教会学生解决问题的方法.因此教师要精心设计课堂教学，让学生在变式中感悟，在感悟中提升，从而使得每一位学生都有所发展.

关键词： 变式 感悟 有效课堂

新课程的核心理念是“为了每一个学生的发展”.构建和谐课堂，最终目的就是要让每一位学生都得到健康、和谐、全面的发展.前苏联著名教育家苏霍姆林斯基曾说：“成功的欢乐是一种巨大的情绪力量，它可以促进儿童好好学习的愿望.请你注意：无论如何不要使这种内在力量消失.缺少这种力量，教育上的任何巧妙措施都是无济于事的.”因此，在课堂教学中，我们不仅要教会学生如何解题，还要教会学生解决问题的方法.那么我们的课堂就要精心设计，不在于讲得多，而在于学生在这堂课上是否有所得.下面我就结合某节课的教学设计谈谈如何让学生在变式中感悟，在感悟中提升，从而使得每一位学生都有所发展.

前面一节课已经学习了直线与圆的位置关系，这节课重点研究圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题.

课前思考（2010年江苏高考第9题）：在平面直角坐标系xOy中，已知圆x■+y■=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是？摇？摇 ？摇？摇.

这道题对于基础薄弱的学生来说是一道有难度的题.如何化难为易，化繁为简，真正体现数学的生成思维，让每一位学生都有所发展，因此我先抛砖引玉，并不急于解决上述问题，而是精心设计了以下教学过程.

例题1：求直线3x+4y-5=0被圆C：x■+y■=4所截得的弦长.

解：由已知可得圆心到直线3x+4y-5=0的距离d=■=1，而圆的半径r=2，所以直线3x+4y-5=0被圆C∶x■+y■=4所截得的弦长为2■=2■.

例题2：求圆C：x■+y■=4上的点到直线3x+4y-5=0的距离为1的点的坐标.

解：设圆C：x■+y■=4上的点到直线3x+4y-5=0的距离为1的点的坐标P（x■，y■）.

则x■■+y■■=4d=■=1，解得

x■=■，y■=■，或x■=■，y■=-■，或x■=-■，y■=■.

变式（1）求圆C：x■+y■=4上的点到直线3x+4y-5=0的距离为1的点的个数.

解：方法一（代数法）通过例2的计算可知圆C：x■+y■=4上的点到直线3x+4y-5=0的距离为1的点的个数为3个.

方法二（几何法）但我们也可以不通过计算，而是通过数形结合的方法判断.从例1可知圆心到直线3x+4y-5=0的距离d=1，而圆的半径r=2，我们只要把直线3x+4y-5=0分别向两侧平移一个单位（虚线部分），从而观察平移后的直线（虚线）与圆的公共点的个数即为圆C：x■+y■=4上的点到直线3x+4y-5=0的距离为1的点的个数：3个（两个交点，一个切点）.

变式（2）求圆C：x■+y■=4上的点到直线3x+4y-5=0的距离为■的点的个数.

解：由图可知，平移后的直线与圆有四个公共点，

所以圆C：x■+y■=4上的点到直线3x+4y-5=0的距离为■的点的个数有4个.

变式（3）求圆C：x■+y■=4上的点到直线3x+4y-5=0的距离为2的点的个数.

老师提问：你认为解决这类问题一般采用什么方法？

学生回答：首先把圆与直线的图形先画好，然后平移直线到满足条件的位置，观察平移后的直线与圆的公共点个数即为所求.老师提问：刚才是圆定，直线定.如果圆动，直线定呢？你能自己变题吗？

学生回答：若圆C：x■+y■=r■（r>0）上的点到直线3x+4y-5=0的距离为■的点有4个，求r的取值范围.

解：已知直线3x+4y-5=0为定直线，圆C：x■+y■=r■（r>0）为动圆.作出到直线3x+4y-5=0的距离为■的两条虚线，使得动圆与虚线的公共点有4个，则圆的半径r的取值范围为r>■.

老师提问：请同学们思考：若有3个？2个？1个？r的取值范围如何？你能得到什么结论？

学生回答：方法类似上述例题，若圆C：x■+y■=r■（r>0）上的点到直线3x+4y-5=0的距离为■的点有分别有3个？2个？1个？相应的半径r的取值范围是r=■，■

老师提问：除了圆动，直线是否可改为动直线？

学生想到直线可以动起来，把直线设为ax+by+c=0.进行调整，这种直线动感太强，无法控制，能否特殊化呢？学生想到把直线设为3x+4y+c=0，这是一组与直线3x+4y-5=0平行或重合的直线.也有学生想到把直线设为ax+by=0，这是一组过定点（0，0）的直线.

因此学生立即想到课前思考的高考题：在平面直角坐标系xOy中，已知圆x■+y■=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是？摇？摇 ？摇？摇.

其实这类题与上述例题有着异曲同工之处，看似题目不一样，其实解决的方法是一样的.利用数形结合的方法，我们同样可以利用图形来判断.最终转化为圆心到直线12x-5y+c=0的距离0

变式（4）：若圆x■+y■-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2■，则直线l的倾斜角的取值范围是？摇 ？摇？摇？摇.

解：方法一：圆x■+y■-4x-4y-10=0整理为（x-2）■+（y-2）■=（3■）■，

圆心坐标为（2，2），半径为3■，直线l：ax+by=0恒过原点，

要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2■，

则圆心到直线的距离应小于等于■，■≤■，（■）■+4（■）+1≤0，

-2-■≤■≤-2+■，k=-■，

2-■≤k≤2+■，

所以直线l的倾斜角的取值范围是[■，■].

方法二：圆x■+y■-4x-4y-10=0整理为（x-2）■+（y-2）■=（3■）■，

圆心坐标为（2，2），半径为3■，

要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2■，

则圆心到直线的距离应小于等于■，过原点分别作两条直线l■和l■，使其圆心A分别到两条直线的距离为■.过点A分别作直线l■和直线l■，垂足分别为点M和点N.

直线OA的倾斜角为45°，且∠AOM=∠AON=30°，直线l■和直线l■的倾斜角分别为■，■.所以直线l的倾斜角的取值范围是[■，■].

上述几个问题的设计由浅入深，层层递进.例1和例2使得每一位学生都能做一做，想一想，练一练，而几个变式相对于两个例题的难度要大些，对于有能力的学生来说可以提高其思维能力.对于基础薄弱的学生，在前面问题的铺垫的情况下也可以慢慢有所想法，渐渐突破难关.这样每一位学生在课堂上都能有所收获.若是一味地直接做难题，则基础薄弱的学生听不懂；若题目太简单，没有一定的梯度，则基础好的学生不想听.因此问题情境有一定的生成性，更能吸引学生的注意力，更能激发学生的探究精神和创造能力及学习的兴趣.

素质教育的显著特点之一就是要面向全体学生，提高全体学生的素质和能力，努力挖掘每一个学生的潜能，发挥每一个学生的个性特长，使学生的个性特征得到充分、全面的发展.让每一个学生获得成功的体验，是构建有效课堂的最终目标.获得成功是每一个学生的权利，帮助学生获得成功又是每一位教师义不容辞的义务和责任.题海战术可能短时间对学生的解题稍有益处，对于学生的终身发展却不是什么好的方法.在课堂上我们要学会精讲精练，在变式中让学生慢慢体会数学的乐趣和数学的价值，在感悟中提高自身的解题能力，培养良好的数学素养，让数学课堂变得妙趣横生，引人入胜.

参考文献：

[1]刘训昌.河南教育：一切为了学生的发展，2003.08.

[2]岑申，王而冶编.21世纪高中数学精编.杭州：浙江教育出版社，2000.

[3]魏丹.高中数学教与学：注重解题反思，提高思维能力，2012.04.