影响高中生解排列组合应用题的因素及教学策略

中学“排列与组合”这部分内容，一直是学与教的难点，无论教师还是学生，对所遇到的计数问题，大都对自己算出的结果不太自信.造成这一局面的原因是多方面的.

笔者认为：影响学生解题成败的因素主要是以下几个方面：

1 对分类计数原理和分步计数原理的理解水平

学生对分类计数原理普遍认为比较容易理解，个别题目难度来自于学生的分类方法是否恰当.大多数学生对分步计数原理的运用不够熟练.通过与学生交流，笔者发现，学生对此原理的认识仅限于记住它的内容，而对教科书中的一个简单例子并没有理解到位.笔者又举了另外例子：现有两顶不同颜色的帽子，3件不同品牌的上衣，4条不同品牌的裤子，某人从中各选一件穿戴，有多少种不同选法？问题答案很简单，学生都能答出来：2×3×4=24（种），但让学生解释为什么是这一算式，能说清楚的学生并不多.对此算式的解释是朴素的：对第一步：某人只有两种选法，但对其中一种颜色的帽子而言，他选择上衣的方法是3种，所以他实现前两步有6种方法，而对这6种方法中的每种，他选择裤子的方法是4种，故有24种方法.这种朴素的解释里面其实蕴涵了分析问题的方法.

例1 把1、2、3这三个数字填到下面的九宫格内（如图1），要求同一行，同一列中数字互不相同，问有多少种不同填法？

解析 不妨先填第一行，有A33=6种；从这6种里任选一种固定，比如依次填上1、2、3，对这一种填法，不难发现下面两行只有2种法填，所以共有A33·2=12（种），学生对此种问题处理时主要困难是不会“固定”.

例2 某人要把4种不同的颜色涂到如图2所示的三棱拄各顶点，要使同一条棱上两顶点颜色不同，每种颜色都用到，问有多少种不同涂法？

解析 对图2作拓扑变换为图3，不妨设四种颜色为a、b、c、d. 第一步，先对点A、B、C着色，有A34种方法；第二步，不妨设A点处涂了颜色a，B点处涂了颜，C点处涂了颜色c， 因D、E、F处必有一点涂颜色d，有3种方法；第三步，不妨设D处涂了颜色d，则E处可涂a或c，若E处涂颜色a， 则F处只能图颜，若E处涂c，则F处可涂颜色a或颜，故实现第三步只有3种方法，所以，N=A34·3·3=216（种）.

2 对排列与组合概念的理解

学生对数学概念的理解是解决一切数学问题的基础，这是取得共识的教学理念. 实际情况是学生对排列与组合概念的理解受到教科书中那个晦涩的定义的干扰，造成理解上的困惑，致使解题受阻.常见的错误有以下几种：

2.1 对排列与组合的定义的理解模糊

例如：4个人，平均分成2组，有几种不同的方法？许多学生回答为C24=6（种），原因是他认为分组就是组合，把组合理解成一个过程.甚至“组合”的词性也发生了变化，由名词变成了动词.对这一点，我更赞成前苏联的教科书中对组合的定义：“有限集合叫做组合”；

2.2 对组合数和排列数的概念理解不清晰

例如笔者在给高三学生上复习课时给出以下问题：现有6种不同的蔬菜种子，从中选出4种种到4块不同的地上，每块地只限种一种种子，问有多少种不同种法，大多数学生回答是：C46·A44，只有个别人回答是：A46 ，显然回答出前面的答案的学生是受到先组后排的解题经验的影响，从而也从另一侧面反映出很多学生对排列数A46的理解还不很清晰.

对Amn的解释是：从n个不同元素中取出m个不同的元素占据m个不同的位置，每个元素一个位置，有Amn种方法．

例3 5个相同的球放到3个不同的盒子，每盒至少一个，有多少种放法？

错误解答：C15C14C33A22·A33+C15C24C22A22·A33=150 （种）.错误的原因是没注意元素为相同的，组合数已没有意义了.

正确解答：C24=6 （种）（隔板法）.

3 模式识别（对组合模型的识别）

数学模式是指形式化地采用数学语言，概括地或近似地表述某种事物系统的特征或数量关系的一种数学结构.数学中的各种概念、数学理论体系、各种定理、公式、法则、算法、命题和方法，都是数学模式.而在数学问题解决中，具有共同结构的一类问题或具有相同解法的一类问题也称为一种模式.所谓模式识别，指当主题接触到数学问题后，能将该问题归类、使得与自己认知结构中某种数学模式相匹配的过程.所以识别类型是数学问题的深层次表征.

组合模型是由Dubois提出的，他将简单的组合结构分成三种模型：即选择模型、分配模型和分割模型，三种模型定义见下表：

与Dubois的分类相比，国内中学老师对组合问题的分类缺乏理论指导，比较零乱，不同老师的分类也不尽相同，有的老师的分类干脆等同于把问题及答案记住.学生解题时，很难从教师的分类中找到匹配的模式，这就是学生学习排列组合应用题难的原因之一.

按三个模型的定义，元素“同”与“不同”，又是两种本质不同的问题；把三种模式组合，又得到综合类型的问题，例如：选择——分配模式、分割——分配模式.

按照此种分类方法，学生对学习排列组合应用题思路比较清晰，笔者按这种分类方法施教的过程中，学生学得比较轻松.中学里的许多经典题目就变为这些模型的实例：

例4 4本不同的书，按下列条件，各有多少种分法？

（1） 分给甲、乙二人每人2本；（分割——分配模式）

（2） 平均分成二堆，每堆2本；（分割模式）

（3） 分给甲1本，乙3本；（分割——分配模式）

（4） 分成二堆，一堆1本、一堆3本；（分割模式）

（5） 分给甲、乙两人，一人1本、一人3本；（分割——分配模式）

教学时先借助树状图或表格，让学生弄清楚（1）、（3），再解决（2）、（4）、（5）.

（2）解 设平均分成二堆，每堆2本有x种方法，则（1）的结果可表示为x·A22=C24·C22，

x=C24·C22A22.

（4）的解法与（2）类似.

例5 （1）7个不同的球，放到4个不同的盒子，共有多少种放法？（可重复分配模式）

（2）7个相同的球，放到4个相同的盒子，每盒不空，共有多少种放法？（同元同容器分配模式，可用穷举法求解）

（3）7个相同的球，放到4个不同的盒子，每盒不空，共有多少种放法？（同元不同容器分配模式，可用隔板法求解）

（4）7个不同的球，放到4个相同的盒子，每盒不空，共有多少种放法？（分割模式）

（5）7个不同的球，放到4个不同的盒子，每盒不空，共有多少种放法？（分割——分配模式）

让学生在平时解题时，先分析题目中的关键词语：

（1） 元素是否相同？

（2） 位置（容器）是否相同？

（3） 元素是否可重复？

（4） 属于哪种组合模式？选择、分割、分配，还是选择——分配模式、或分割——分配模式.？

（5） 其它（如相邻？不相邻？入选？不入选？）.

例如让学生探究下面一题：

例6 某小朋友玩QQ农场游戏，他用游戏币购买了4种不同的蔬菜种子，欲全部种到6块不同的菜地里，每块地种一种蔬菜，问他有多少种不同的种法？

探究结果：将菜地看做不同的元素，种子看做不同的容器.就会发现此问题属于分割——分配模式.

显然，这种问题分类方法简单、清晰、易教、易懂.不仅有利于教师引导学生探究，而且也有助于学生形成较高层次的元认知监控.当然，是否真的能提升教学效果，在这方面还需要实证研究的支持.

作者简介 董存铭，甘肃省永昌县第一高级中学，高级教师，教龄20年，先后8篇.