竖直平面上圆周运动的研究

【摘要】质点在竖直平面上做圆周运动是高中物理的一个重要课题。它分为轻绳和轻杆两种情况。本文分别探讨了这两种情况下质点的运动规律,分析了运动过程中质点受力情况及可能存在的运动状态发生改变的临界点。

【关键词】竖直平面;轻绳;轻杆;圆周运动;临界点

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089(2012)09-0279-01

1 引言

在高中物理中,学习圆周运动时,常常会遇到下面的一个典型题目:

考虑下面两种情况,(1)轻绳:一条质量忽略不计的绳悬挂着一个质点在竖直平面上做圆周运动。(2)轻杆:质点固定在一根轻杆(质量忽略不计)上,在竖直平面上做圆周运动。

问:在这两种情况下,如果质点从最低点A以一定初速度出发,求使它能运动到最高点B的最小初速度v0 。

解:对于轻绳,当质点运动到最高点B时,质点受力为:

F=T+G=T+mg(1)

其中T是轻绳的拉力,G=mg是质点的重力,r为半径,取向下的方向为正方向。根据向心力公式可得:

mv2r=F=T+mg(2)

即质点在最高点B的速度是

v=(Tm+g)r(3)

由于轻绳只能对质点产生拉力,不可能产生推力,当轻绳松弛,拉力取最小值T=0,此时质点的速度取最小值,即

v=gr(4)

考虑到整个过程中只有重力做工,机械能守恒, 即

12mv20=12mv2+2mgr(5)

不难得出,质点在最低点A的初速度的最小值为:

v0=5gr(6)

对于轻杆,同样分析得到公式(2)和公式(3),然而,杆不仅可以对质点施加拉力,也可以施加推力,因此,T的最小值不是0,可以取负值!当T=-mg时,

mv2r=0(7)

所以,质点在最高点B的速度为v=0,根据机械能守恒,得出质点在最低点A的初速度的最小值为:

v0=2gr(8)

可见这两种情况是不同的,轻绳情况下质点要运动到最高点B需要比轻杆情况下更高的初速度。

然而,上述计算只回答了质点运动到最高点B需要的最小初速度,却没有回答(1)如果质点初速度小于该值,会发生什么情况?(2)从动力学角度看,轻绳和轻杆对于质点的作用究竟有什么区别,导致如此不同的结果?下面我们就详细讨论两种情况下质点的受力及运动规律,探究事情的原因。 2轻绳

由上述计算结果可知,轻绳情况下,质v0=2gr点运动到最高点B的速度不为零,换句话说,如果质点在最低点A仅仅具有的初速度,那么,它是不可能做圆周运动直到最高点B的。在此前的某一时刻,质点的运动就脱离圆周了。下面我们给出证明。

考虑图1上的C点,其半径和竖直方向的夹角为θ,质点的运动速度为v,则根据牛顿第二定律,沿半径方向有:

T+mgcosθ=mv2r(9)

此时,如果轻绳已经松弛,T=0,所以

mgcos=mv2r(10)

另一方面,根据机械能守恒定律可得

12mv20=12mv2+mgr(1+cosθ)(11)

将(10)带入(11)可得

cosθ=23(12)

当质点运动到θ=arcos23的位置C点时,当它欲继续沿圆周上升时,重力的径向分量mgcosθ继续增大,而由于机械能守恒,质点的速度会进一步减小,则在公式(9)中,重力的径向分量就会大于质点做圆周运动所需的向心力,换句话说,轻绳对质点的作用力必须为负值(推力),而这是不可能的!因此,质点从C点开始就不能再做圆周运动了。这个点可以叫做质点运动的临界点。考虑到此时轻绳已经松弛,质点仅受重力作用,而它具有v切向速度,所以,它将做斜抛运动。注意质点做斜抛运动以后某一给时刻,轻绳会重新张紧,质点的运动状态会再度发生变换。不过这个问题就不在本文讨论范围内了,可以忽略。

最后,我们可以得出结论:对于轻绳来说,只要质点的初始速度小于,那么它都不可能做圆周运动达到最高点B,而是在此前的某一点(临界点)就脱离圆周变成了斜抛运动。

3轻杆

轻杆的情况可以类似地分析。

假定质点在最低点A的初始速度为v0=2gr,在C点,夹角为θ,质点的运动速度为v,则

T+mgcosθ=mv2r(13)

同样,此时轻杆对质点的拉力T=0。然而,随着质点进一步沿圆周运动,重力的径向分量mgcosθ继续增大,而由于机械能守恒,质点的速度会进一步减小,此时轻杆对质点的拉力T转变成负值,也就是说,它对质点施加的是推力。不同于轻绳,杆是完全可能对质点施加推力的。因此,质点继续沿圆周上升,重力的径向分量mgcosθ继续增大,相应地轻杆对质点的推力也随之增大,这两个力的方向相反,始终保证公式(13)成立,质点可以继续沿圆周运动。可见,C点是轻杆对质点的作用力由拉力转变成推力的临界点。但是质点在经过C点前后运动状态并未发生变化,始终是做圆周运动。根据机械能守恒定律,质点到达最高点B时,其速度为零,此时

T+mg=0T=-mg(14)

即此时轻杆对质点的施加向上的推力,其大小等于质点的重力。

最后,我们可以得出结论:对于轻杆来说,只要质点的初始速度大于等于2gr,它就可以沿圆周运动到达最高点B,只是该过程中轻杆对质点的作用力的方向发生了变化,最初是拉力,后来转变成了推力。

4讨论

对于轻绳和轻杆的两种情况,它的共同点是都遵守机械能守恒定律,区别是,质点要做圆周运动,必须提供向心力,而且向心力的大小与质点的速度有关的。

F向心力=mv2r(15)

在竖直平面上,质点只受到地球施加的重力和轻绳(轻杆)施加的作用力,只有两者的合力在径向方向上的分量能够提供满足公式(15)的向心力时,质点才能够继续在圆周上运动下去。轻绳不能做到,而轻杆能够做到,这就是两者的区别。