竖直光滑轨道中的小球

图1问题：如图1所示，一竖直光滑轨道，小球在最低点以初速度v0运动，它能否做完整的圆周运动。若不能，何时离开轨道，离开后又做什么运动呢？

为了解决这个问题，我们把圆轨分成两个部分ABC和ADC。

若小球在ABC轨道上任意一位置，对小球作受力分析，如图2所示，

小球做圆周运动的向心力为：

图2FN-mgcosθ=mv2R

FN与v是什么关系呢？根据向心力方程可知，随着速度的减小，支持力也在减小，当速度减小为零时，支持力减为mgcosθ，所以在ABC段（除AC两点外）支持力不可能为零，而小球要离开轨道的临界条件是支持力为零，即小球在ABC段运动时，不会离开轨道，小球在ABC段任一个位置的速度都可以为零。

设小球刚好运动到C时速度为零，从B点运动到C点的过程中，机械能守恒，得：

12mv21=mgR

v1=2gR

所以当小球在B点的速度v1≤2gR时，小球是不会离开轨道的，而是在以OB为对称轴的圆弧上来回摆动。

图3小球在ADC上任一点位置时，对小球进行受力分析，如图3所示，

小球做圆周运动的向心力为

FN+mgcosθ=mv2R

这种情况下，FN与v是什么关系呢？根据向心力方程，速度减小时，支持力也在减小，与在ABC段不同，在ADC时，当速度减小到某个值时，支持力先减小到零。

即FN=0时

v=gRcosθ

也就是说，在ADC段小球的速度应有最小值，小球的速度v=gRcosθ时，它与圆周轨道虚接触，下一刻就将离开轨道，有斜向上的速度，在重力作用下，小球就会离开轨道做斜抛运动。

怎么样才能让小球不离开ADC圆弧呢？即在最高点时（即θ=90°）还未离开即可。

在圆弧的最高点时

FN+mg=mv2R

FN=0时，vmin=gR

从B到D小球的机械能守恒，得：

12mv22=2mgR+12mvmin2

v2=5gR

当小球在B点的速度v2≥5gR时，小球就做完整的圆周运动。

综上所述，小球在竖直光滑轨道内的运动有三种情况。

当在最低点的速度v0≤2gR时，小球会在下半弧来回摆动；

当在最低点的速度2gR≤v0≤5gR时，小球会在上半弧离开圆周轨道做斜抛运动；

当在最低点的速度v0≥5gR时，小球会做完整的圆周运动。