竖直平面内圆周运动的两个模型和拓展应用

圆周运动是高中物理的重要内容，在高一力学教学中，一般对水平面内圆周运动和竖直平面内的圆周运动两种情况进行实例分析和研究。物体在竖直平面的圆周运动，是学生普遍感到难学难懂的地方，笔者在多年教学中感到，物体在竖直平面内做圆周运动，如果教学中能够透彻地作出分析，让学生理解掌握两类模型，就可以解决竖直平面内圆周运动的这个难题。

物体在竖直平面内圆周运动的两类模型：绳拉小球在竖直平面内的圆周运动和轻杆带小球在竖直平面内的圆周运动，两者的区别是前者绳子只能对运动的小球产生拉力作用，后者轻杆对运动的小球可以有拉力，也可以有支持力作用。

这两个模型都是变速圆周运动，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的位置――最高点和最低点。本文只讨论较难的最高点的情况。

一、绳拉小球在竖直平面内的圆周运动模型

如图1所示，运动小球在一轻绳的作用下绕中心点作竖直平面内的圆周运动。

（1）质点过最高点的临界条件的分析：由于绳子只能 “提供”向里（向心）的拉力，小球在最高点受到向下的重力和绳的拉力，若小球达到最高点时绳子的拉力刚好为零，其合力最小，合力的最小值即等于物体的重力，小球在最高点的向心力全部由小球的重力来提供，即mg=m， vmin=。

在最高点，当v> 时，小球做圆周运动所“需”向心力大于重力，重力不足以提供所需向心力，小球向外远离圆心，绳产生拉力；绳的拉力和重力的合力提供向心力，即F+mg=m。

上式中vmin=是质点通过最高点的最小速度，叫临界速度；

（2）质点过最高点的临界条件：由上所述，可以得出临界条件为V≥；

（3）不能过最高点条件，V

模型拓展：这个模型可以拓展到其他情形，如小球在竖直（光滑）圆弧轨道内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，这些实例中，做圆周运动物体受力情形与竖直平面内的圆周运动的轻绳拉小球完全相同（如图1）。

应用实例1： 绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m= 0.5kg，绳长L= 40cm，求：（1）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（2）桶在最高点速率v= 3m/s时，水对桶底的压力？

解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。即：mg≤m，则最小速率 v0==m/s = 2m/s；

（2）水在最高点速率大于v0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F，由牛顿第二定律有F + mg =m， F = m-mg = 6.25N，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F'=F = 6.25N，方向竖直向上。

二、轻杆带小球在竖直平面内的圆周运动

如图2所示，运动小球固定在轻杆上，在轻杆的作用下，绕中心点作竖直平面内的圆周运动，由于轻杆能对小球提供向里（指向圆心）拉力，也能提供向外（背离圆心）支持力，所以小球过最高点时受的合力可以为零，小球在最高点可以处于平衡状态。所以小球过最高点的最小速度为零。

（1）当时v=，重力刚好提供小球做圆周运动所需要向心力，即mg =m，杆对球无作用力，F=0；

（2）当v≥，小球的重力不足以提供向心力，此时杆的作用相当于绳，杆对小球有指向圆心的拉力，由F+mg=m得出拉力随速度的增大而增大；

（3）当0

（4）当v=0时，由上式可得出轻杆对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即FN =mg 。

模型拓展：这个模型可以拓展到其他情形，如小球在竖直平面内的（光滑）圆管内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，其受力情况与竖直平面内轻杆带小球的圆周运动完全相同（如图3）。

应用实例2：如图4所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度v0射入圆管。

（1）若要小球能从C端出来，初速度v0多大？

（2）在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度v0各应满足什么条件？

解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是v临=0，此时需要初速度为v0，由机械能守恒 ：mv02=mg2R， 得v0=， 因此要使小球能从C端出来需vC>0，故入射速度v0>；

（2）小球从C出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：

①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识mg=m由机械能守恒定律：mv02=

mg2R+mvC2， 联立解得；

②对下管壁有压力，此时应有mg>m，相应的入射速度应满足

③对上管壁有压力，此时应有mg。