浅析函数的值域问题

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）05-0165-02

在高中阶段，函数可谓是数学中的重头戏，是高考中的压轴部分，更是许多考生最棘手的问题。函数是高中数学中的重点，更是高中数学中的难点。关于函数，我们无非就是抓住函数的三要素：定义域，对应法则，还有就是值域。事实上，给出了函数的对应法则与定义域，函数的值域也就唯一确定了，可是，难点也就在此，给了我们函数的解析表达式，给了我们函数的定义域，我们应该如何求函数的值域呢，求函数的值域有哪些方法呢，函数的值域问题在数学中又有怎样的应用呢？

1.我们谈论一下求函数值域的方法

高中阶段学完函数后，我们会发现，求函数值域的方法还是比较多的，方法有：单调性法，配方法（主要针对二次函数），判别式法，基本不等式法，换元法，导数法，几何意义法等。

下面就请大家看一下求函数值域的一些简单问题。

例1：求函数的值域。

分析：当我们看到这个题目时，会觉得这个题目并不难，因为它是一个典型的二次函数求值域问题，只要考察二次函数的对称轴，开口方向就可以了。可是我们再仔细地看一下这个问题，这里的x不能取到所有的实数，只能取中的实数，这就给问题又增添了一个台阶，最后就转化为求二次函数在指定区间上的值域问题。

解：由条件：函数是二次函数，它的对称轴为x=1，开口向上，

因此在上单调递减，在上单调递增。

由此得，当x=1时函数达到最小值2，而函数的最大值可能在x=0的时候取到，也有可能是在x=3的时候取到，而我们知道，开口向上的抛物线，离开对称轴距离越远，函数值越大。

因此当x=3时，函数达到最大值6，

因此函数的值域为[2，6]。

点评：从上述问题中，我们发现，这是求二次函数在指定区间上的值域问题，要注意二次函数的对称轴，开口方向，以及函数在指定区间上的单调性。

例2：求函数的值域。

分析：此题是两个二次函数的比值，求值域问题。好多考生看到这边，不禁懵了，怎么做呢？下面我们给出解答。

解：由题意：可化为也就是

而，所以，所以，

所以，

点评：上述解题过程是先将函数拆凑，然后利用不等式的放缩，里面要注意代数式的范围，最后求出了函数的值域。

看完上述题目，我们不禁会思考，这道题目还有其它解法吗？回答是肯定的。既然里面看到了x的二次项，我们就可以考虑一元二次方程了。下面我们给出这道题目的另外一种解法。

另解：由题意：可化为，整理得：

由此知，这个方程是形式上的关于x的一元二次方程。当y=2时，它就不是一元二次方程了，此时方程变为1=0，而这是不可能的，所以y≠2，所以这个方程一定是一个一元二次方程，并且这个方程一定要有根，所以Δ≥0，而所以，所以，又因为y≠2，所以。

点评：上述这种解法完成后，大家都知道这种方法是判别式法，但用判别式法也有它的注意点，要注意得到的是一个形式上的一元二次方程，要对它进行讨论，这是好多同学容易遗漏的地方，他们一上来就会用Δ≥0来做，而Δ只有一元二次方程才具有的。

例3：已知x2+y2=1，求xy的取值范围。

分析：当家看到这个题目时，第一会想到的就是，而 所以一下子就得到了xy的取值范围。

解：因为，又因为，所以，因此

思考：看到这里，我们不禁会问，这种解法对吗？这里的xy是否会取遍中的所有数呢？答案是否定的。因为上述解法采用了基本不等式法，而基本不等式法的应用有三个条件，那就是：一正，二定，三相等。而这X2里面 未必就是x，Y2未必就是y。那这道题目应该怎么做呢？

解：因为，又因为，所以即。

点评：当我们充分了解基本不等式的适用范围之后，上述解出来的xy的取值范围就正确了。

思考：事实上，当我们看到时候，我们就会联想到一个类似的表达式因此这样我们就转化为了求三角函数的值域问题。

另解：由于是可令因此

又因为所以

点评：上述解法也是求值域问题的一种比较好的方法，我们称之为换元法，即"三角换元法"。

其中求值域利用了三角函数的有界性。

下面再请大家看一下延伸的题目。如下：

例4：已知x2+y2=1，求x+y+xy的取值范围。

分析：其实x+y+xy我们可以看成是x+y与xy的和。在这个过程中，我们只要用x+y来表示xy，或者用xy来表示x+y就可以了。

解：由条件：可设x+y=t，所以，于是因此

所以，由例3的结论得：，所以解之得：令

当t=-1时，f（t）达到最小值-1，当时，f（t）达到最大值

所以x+y+xy的取值范围为

点评：上述这道题目的解题思想就是将x+y与xy都化成同一个变量的函数，最后x+y+xy就变为了一个二次函数，但要注意里面参量的范围。事实上，这种类型的式子我们也是见过的，例如：sinx+cosx+sinx.cosx，求这个式子的范围，我们也是根据sinx与cosx的平方和为1来操作的。因为三个式子sinx+cosx，sinx-cosx，sinx.cosx是知一就可以求二的，知道其中一个就可以求出另外两个来。

看了上面的求x+y+xy的范围，大家也可以尝试一下以下的例题。

例1：已知求x-y+xy的取值范围。

例2：已知求x+y+4xy的取值范围。

以上我们大致介绍了求函数值域的方法，当然了，求函数值域也远不止上述我介绍的方法。那么，关于函数的值域问题，它在数学中有什么具体的应用吗？

2.我们来谈一下函数值域的应用

数学中包含的分支有很多，有代数，有几何，有三角，还有其它的方面。在上面介绍求函数值域的方法中，已经介绍了用三角换元法求函数的值域。同样的，函数的值域问题在代数与几何中应用也是很多的。

函数的值域问题还有一个重要应用，就是在含有参数问题的习题中，主要是分离参数求最值，分离参数求值域问题。

例如：要使a>f（x）恒成立，只要a大于f（x）的最大值就可以了；要使a g（x）恒成立，只要a不大于g（x）的最小值就可以了。

函数的值域问题可谓是数学中的重中之重，不光是函数中的要点，也是整个高中内容乃至高考的重要环节，经过上述介绍，我们发现了函数值域问题涉及面之广，它可以和导数，不等式，乃至解析几何有机的结合在一起，使得数学内容丰富多彩，从而更是体现了函数值域问题的举足轻重的作用。