浅析一道中考压轴题

纵观了2011年各省市的中考压轴题后，笔者认为许多压轴题都别出心裁，特别是某省2011年中考数学试卷第23题，构思巧妙，灵活多变，来源于课本又高于课本，是一道不可多得的压轴题，值得数学老师研究剖析。下面笔者就这道题谈谈其解法剖析探究，以与广大师生交流。

原题：如图1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1；h2、h3（h1>0,h2>0,h3>0）.

（1）求证：h1=h3；

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=(h1+h2)2+h12；

（3）若32h1+h2=1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1变化情况。

图1

探究一、“赵爽弦图”法

（1）如图2，过点A作AFl3分别交l2l3于点E、F，过点C作CHl2分别交l2l3于点H、G,很容易证明出ABE≌BCH≌CDG≌DAF，四边形EFGH是正方形，在此基础上从而得出结论AE=CG，即h1=h3。

（2）在ABE≌BCH≌CDG≌DAF的前提下，BE=CH=DG=AF=h1+h2,这样ABE、BCH、CDG、DAF两直角边就分别为h1、h1+h2，而四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以S=4×12h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h2)2+h12。

图2

（3）由已知条件变形为h2=1－32h1，代入（2）中的结论得：

S=(h1+1－32h1)2+h12=54h12－h1+1=54h1－252+45。

很显然h1的取值范围可求为h1＞0,1－32h1＞0。

解得0＜h1＜23。

（ⅰ）当0＜h1≤25时，S随h1的增大而减小，所以当h1=25时，S有最小值45。

（ⅱ）当25≤h1＜23时，S随h1的增大而增大，所以当h1=25时，S有最小值45。

综上，当h1=h2=25=h3时，即l1、l2、l3、l4这四条直线之间等距离时，S有最小值45。

探究二、茄菲尔总统证法

其实本题除了以上证法外，还可以另辟路径，如图3。

图3

作过D点作l3的垂线交l1、l4于E、F两点并连AC，第（1）、（3）题论证方法基本雷同，这儿不再多说，下面重点介绍第（2）题的证法.很显然，易证AED≌DFC,得AE=DF=h3=h1，DE=CF=h1+h2，故梯形ACFE的面积可以看作是ACD和AED和CDF面积之和，即：

12(AE+CF)·EF=12AD2+12AE·DE+12CF·DF,而AD2=S2。

12(h1+h1+h2)·(h1+h2+h3)=12S2+12h1·(h1+h2)×2(2h1+h2)2=S2+2h12+2h1h2。

4h12+4h1h2+h22=S2+2h12+2h1h2。

S2=2h12+2h1h2+h22=(h1+h2)2+h22，得证.

总评：本题考察了三个层次面的知识，一是全等三角形的判定.但是制卷人并没有直接给出你哪两个三角形，这就需要同学们用自己的思维建立模型来答题；二是勾股定理的证明.这就需要在第一题的基础上逐层深入，此时至少有三个方向来思考；三是数形结合考察二次函数的最值问题。不是很困难，即使你前两题做不出来也可以利用第（1）的结论来独立解决它。

（作者单位：江苏省姜堰市第二中学附设初中）