菲涅尔理论在《光电子学与光电器件实验》课中的应用

摘要：在《光电子光电器件实验》课程中，引入菲涅尔理论的应用。把计算机软件的应用与具体实验内容相结合，探索了在实验课程中将基础理论、实践内容、计算机应用三者相结合的教学方法。通过设计与分析高阶菲涅尔透镜的性质，使学生对光电子学的色散等概念有了更全面和深入的理解，培养学生分析问题和处理问题的能力。

关键词：菲涅尔；光电子学；光场分析

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）05-0254-03

《光电子学与光电器件》是一门实践性与应用型很强的课程。学生在学习了光电子学的基本理论知识的同时，还需要通过实验课进一步理解和消化一些基本原理和基本元件，掌握光电子学的基本技能。相应的实验课的建设直接影响学生的培养质量，影响学生今后进行科研的能力，是学科建设的重要内容之一。如何构建课程体系以及在课程中引入相应的知识训练，是一个重要的研究课题。随着光通信系统技术的飞速发展，光学元件的制作工艺也在突飞猛进。菲涅尔透镜作为一种二元光学元件，在制作工艺上有着加工工艺简单、成本低、易于与其他光路集成等优点，在光束整形、光互连、光照明、太阳能利用等方面都有着广泛的应用前景。菲涅尔透镜又叫菲涅尔波带片，是基于光的衍射理论制作的光学元件。根据菲涅尔衍射理论，在对波前进行比较粗糙的分割，组成一些同心圆环，使得到达波前一点的光程相差半个波长，经过振幅叠加可以达到聚焦的目的。为加强学生对波动光学方面基础知识、基本理论和基本技能的理解和掌握，养成用波动理论分析光学问题的思维习惯，了解菲涅尔透镜的设计与分析方法，吉林大学电子科学与工程学院特为本科生开设《光电子学与光电器件》课程这门专业课。

一、几何光学的局限性

因为在日常生活中遇见的有关光的问题绝大多数都属于几何光学的问题，几何光学比较直观，解决问题的方法比较简单，本科生在进行光电子学实验的时候往往习惯于用几何光学的知识去理解激光，思考问题仅仅停留在宏观尺度上。但是几何光学有局限性，除了直线传播定律之外，作为几何光学基础的另外两条定律――反射定律和折射定律，也都只在波长很小的条件下或者在宏观尺度上应用才能成立。几何光学原理的适用范围是有限度的。光电子学实验主要是培养学生用微观的思维去理解光、了解光的波动性。按照几何光学的知识，激光通过凸透镜会聚焦到一点，如果这个点没有大小，此处能量密度将是无穷大，这是不符合科学的，所以，聚焦的焦点处应该为一个焦斑，用几何光学的知识无法计算出此处焦斑的大小及其能量分布情况。实验过程中，可以测的激光焦点最小为光波长量级的光斑，称为埃里斑，能量主要集中在埃里斑的中心，在埃里斑的周围会有光环，其能量分布如图1所示。

学生这种几何光学的思维定势会影响他们对实验结果的分析以及面对问题时所采取的解决方法。为了让学生在现有知识条件下，就能理解解决这一光学问题，从而改变他们这种思维定势，我们在《光电子学与光电器件实验课》引入菲涅尔理论的应用，对实验项目中的实验现象尽可能让学生用波动光学的知识去理解，从而改变学生波动光学的思维习惯。

二、菲涅尔理论

根据菲涅尔理论，波前上每一个点都可以看成一个新的震动中心，它们发出的次波在空间某一点振动的所有次波的相干叠加即为该点的光强。利用公式描述如下：

其中（P）是波面上P点的复振幅，K是比例常数，F是倾斜因子，d∑是面元。

通过这一公式的形式我们可以看出，经过一个复杂的曲面积分，按照理论，可以计算出激光光场中任何一点的光强。但是这个积分计算是非常复杂的，一般的学生很难完成。如果我们的实验课中让学生进行这样枯燥无味的数学计算，不但不能提高学生波动光学的思维习惯，同时还会影响学生的学习兴趣，这与我们实验课培养学生实验技能的宗旨是相违背的。

可以利用上面的公式，不需要复杂的曲面积分，借助于计算机的快速处理能力，设计出一个激光光场分析系统，在比较短的时间内计算出各种光学元件的光场情况，从而让学生用波动光学的知识去理解激光。在利用菲涅尔公式进行光场分析的时候，学生需要了解激光波长、材料折射率、光学元件的形貌等参数，这些都是光电子学中比较重要的概念。

如在进行《氦-氖激光器模式分析》实验项目的时候，学生可以利用光场分析系统模拟出氦氖激光的情况，然后利用CCD等仪器测量实际的模式，经过对比就可以发现两者之间的误差，并进行误差分析。再比如《氦-氖激光器高斯光束与发散角测量》实验项目，可以让学生在分析系统中计算发散角的大小，以及利用最小二乘法对激光光强分布情况进行拟合，对高斯分布情况进行分析，从而让学生对高斯激光有一个更深入的了解，然后利用CCD对高斯激光发散角测试系统进行测试。这一过程对学生来说可以深入强化其对光电子学概念的理解，同时提高他们对光电子学的兴趣。

三、光场分析系统

光场分析系统为我们自主研发的一套分析软件。该软件主要是针对《光电子学与光电器件实验》教学而设计，学生在使用过程中可以自由设计实验系统中各个光学元件的参数。比如，学生可以设置激光波长，不同的波长会根据光的颜色来进行区分；可以任意设定凸透镜的表面形貌，从而可以让学生了解球面透镜与非球面透镜的区别；可以设定高斯光束中能量分布情况，从而可以比较准确地测量高斯光束的发散角等参数；还可以对菲涅尔波带片的聚焦情况进行模拟，同时还可以模拟非对称的椭圆形波带片，这种非对称光学元件在边发射激光器光束整形方面有很大的应用前景。

四、八阶梯相位型菲涅尔透镜设计与分析

根据菲涅尔衍射公式，我们可以设计菲涅尔波带片，每个圆环的半径满足以下公式：

其中，R1为最小圆环的半径。如果我们对前面所提到的波带片每个波带进行划分，根据不同的波带设定不同的光程，可以制作高阶波带片。公式如下：

rm+f=（f+mλ/2）2 （3）

（由于光波长一般较短，我们可以认为mλ

波带片衍射效率公式为：

当n=2、4、8时，波带片理论衍射效率分别为40.5%，81%，95.1%。为产生相位匹配，必须考虑材料折射率，适当选择每个波带的厚度。

为获得更高的衍射效率，我们设计高阶波带片阵列。当n=8时，波带片理论衍射效率为最高95.1%。为产生相位匹配，必须考虑材料折射率，适当选择每个波带的厚度。厚度公式如下：

其中N为波带片阶数，n为材料折射率，对于n=

1.56的材料，为波带片达到相位匹配，我们设计每层高度为118纳米，一共8层亚波带，半径为18微米，根据公式（4）可以求得该菲涅尔透镜焦距为74微米，模型如下图所示。

然后，我们利用光场分析系统模拟这种菲涅尔透镜的聚焦情况。首先分析主轴上光强分布情况，得到菲涅尔透镜主焦点位置。从图中我们可以看出，主焦点的位置与利用公式获得的主焦点位置比较符合。

然后我们继续分析焦点位置在径向的光场分布情况，获得如下光场能量分布图形与焦点处能量分布情况（图4）。

从图中我们可以看出，实际的聚焦情况与我们分析系统分析出的菲涅尔透镜焦点情况基本完全符合。下图为焦点处光场分布的立体图。

五、总结

光电子学是光学和电学相结合并加以融合的技术领域，相应的实验课在学习光电子学过程中非常重要。本文根据光电子学与光电器件实验课程的特点以及学生在实验过程中所面临的问题，在教学过程中引入菲涅尔理论的应用，设计匹配实验项目的光场分析系统，本文合理采用计算机软件应用作为教学手段，提高授课质量，增加课程设计性实验环节，将实验教学与科研培训相结合，引导学生发现并解决问题。

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