光纤模式理论教学中如何应用几何光学分析方法

摘 要： 本文作者从几何光学的角度出发，利用驻波条件，分析了阶跃折射率光纤中子午射线形成导模传输的条件，对如何在教学中展开这一知识点，以及如何与波动光学下的模式理论衔接提出了自己的看法。

关键词： 光纤 模式理论 几何光学 驻波

1.引言

光纤在光通信和光传感领域有着极为重要的作用，在高校教学中诸如光纤通信、光电子技术、光电检测技术、光电子器件等课程都会对光纤的相关知识加以讲解。其中，最为重要也是最难以讲清楚的知识点就是光纤的模式理论。目前，对于模式理论的讲解通常是从波动光学的角度出发；而对于光纤的基本传光原理和关键参数（如数值孔径）却是从几何光学的角度来加以分析。因此，在教学过程中，这两部分内容之间的转换比较生硬，知识之间存在断层。针对这一问题，作者通过教学实践发现，如果能将光纤的模式理论用几何光学的方法加以分析，再根据几何光学下模式理论的不足引出光纤模式的波动光学分析方法，就能够很好地解决这一问题。光纤教学中，通常以阶跃折射率光纤为研究对象，通过子午光线来加以讲解，本文所述光线均指子午光线，光纤为阶跃折射率光纤。

2.利用几何光学分析光纤的模式

模式，指的是事物的标准样式，这个词涉及的范围十分广泛，例如：商业模式、管理模式、思维模式，等等。在光纤理论中，光的模式可以简单地理解为具有相同传播状态的光的集合，不同的集合具有不同的称呼，如导模、一阶模等。光纤中传播的光主要分为两类，一类是可以在光纤中持续传播的光，叫做导模；另一类是在传播过程中能量损耗，在光纤中传播很短距离后全部散失掉的光，叫做辐射模。光纤是传输光的，我们真正关心的是满足何种条件的光可以在光纤中传输，导模是这一类光共有的名字，故将其简称为导模条件。［１］

根据光纤中光传播的基本原理，只有满足以下两个条件的光才能被称为导模：a.在纤芯和包层界面上的全反射条件；b.波导的横向谐振条件。全反射条件是光纤教学中的基本知识点，此处不再赘述。［２］

光在光纤中传播时，光纤横截面上的光强分布是由大量光线叠加而成，如图1所示。光纤中的导模在光纤横截面上的分量叠加会形成驻波，也只有横向分量叠加形成驻波的光，才有可能称为导模，这一条件叫做横向谐振条件。全反射条件和横向谐振条件结合在一起构成了导模的充要条件。

根据驻波理论，多个同类波叠加形成驻波的条件可简化为单一波在往返运动中的相位变化特性。因此，横向谐振条件可表述为：光在光纤横截面上的分量（以下简称横向分量）在纤芯和包层界面之间往返一次，相位变化为2π的整数倍时，该光线满足横向谐振条件。

在横向谐振条件中横向分量的相位变化由两部分组成：（1）横向分量的往返运动所造成的相位变化；（2）在纤芯和包层界面上全反射造成的全反射相移。

1.1横向分量的往返运动产生的相位变化的计算

设某一光线的表达式为=sin（ωt+φ）式中，代表光矢量的方向和振幅，ω=代表光的角频率，φ代表初始相位，（ωt+φ）则代表相位。当光在纤芯和包层的界面上的入射角为θ时，其横向分量可以表述为′=cosθsin（ωt+φ），其中cosθ代表方向和振幅，而相位仍然是（ωt+φ）。因此，光的横向分量与原光线具有相同的相位。

如图2所示，光线1与光线2平行，属于同一个模式。这一模式光的δ是指横向分量从A点到B点再返回A点过程中由光程造成的相位差。光的横向分量与原光线具有相同的相位，故其实质是光线1在A点的相位和光线2在B点相位之间差值的两倍。

在光传播过程中，某一时刻其振动相位相同的点所构成的面叫做波阵面，简称波面，波面与光的传播方向相互垂直。［３］在图2中，光线1和光线2为平行光，过B点做光线1的垂线，与光线1交于C点，则BC为波面，B点和C点的相位相同。C点和A点的相位差δ′可通过光程计算得到：

δ′=2π?=2π?=2π?（1）

因此，横向分量的往返运动所造成的相位变化为：

δ=2δ′=4π?（2）

式中d为纤芯直径，n为纤芯折射率，λ为入射光在纤芯中的波长，λ为入射光在真空中的波长。通常而言，表述光在真空中传播方向的光矢量为，矢量的模k=称为波数，则当光在某一方向上传播L的距离时，其相位变化可表述为kL，即将波数作为计算路程引起的相位变化的运算系数。根据这一简化算法，式（2）可表述为：

δ=2kdncosθ=2d?（kcosθ）（3）

式中k=kn=n=为入射光在纤芯中的波数。

此时，式（3）中的kcosθ可以看做是波数k在光纤横截面上的分量，而2d可以看做是横向分量往返运动的路程。则δ也可以简单地理解为相位变化的运算系数与路程的乘积。

将波数k在光纤轴向上的分量定义为传播常数β=ksinθ=nsinθ，则式（3）可以表述为

δ=2dk=2d=2d（4）

1.2全反射相移

当光在纤芯和包层的界面上发生全反射时，反射光相对于入射光会产生相位上的变化，称为全反射相移。光是一种电磁波，其电场模和磁场模的全反射相移有所不同，电场模为?覬=-2arctan，磁场模为?覬′=-2arctan。利用传播常数可以将其简化为：

?覬=-2arctan=-2arctan（5）

?覬′=-2arctan=-2arctan（6）

为了便于后续分析，可将式（5）和（6）统一简化为

?覬=f（k，n，n，β）（7）

结合式（7）和式（4）可以得到横向谐振条件的数学表达式：

δ=δ+?覬=2d+f（k，n，n，β）=2mπ m=1，2…（8）

光纤中的全反射条件的数学表述为：sinθ＞（9）

在前文论述中，θ是光在纤芯和包层的界面上的入射角，而沿光纤轴线方向传播的光不存在这样的入射角，因此前面所述分析不包含沿光线轴线方向传播的光。