关于相关系数性质证明的探讨

摘 要 本文对相关系数两个性质的三种证明方法进行了讨论，比较了其优劣，并将相关系数性质应用于线性回归分析之中。

关键词 相关系数 证明 线性回归分析

中图分类号：O211 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2015.02.017

Discussion on the Correlation Coefficient Prove

LI Shengbiao

（Lanzhou University of Arts and Science， Lanzhou， Gansu 730000）

Abstract In this paper， three methods proved the correlation coefficient of the two natures are discussed and compared their advantages and disadvantages. And applied nature of the correlation coefficient of linear regression analysis.

Key words the correlation coefficient; prove; linear regression analysis

在大学的概率论与数理统计课程中，相关系数是学生必学的数字特征之一，它描述的是两个随机变量和之间的线性相关程度，在一元线性回归分析中也有着重要的应用。与数学期望和方差相比，学生学对相关系数理解起来也是相对比较困难，尤其是在讲到相关系数的性质证明时，学生理解起来更是困难，而相关系数的性质又恰好揭示了相关系数的本质及其意义，是重要的一部分内容。因此，本文就相关系数的三种证明方法进行了讨论和比较，指出了各自的优劣，并将相关系数性质应用于线性回归分析之中。

1 线性相关系数及其性质

下文中用（）表示随机变量的方差，（）表示两个随机变量和的协方差。

定义1.1 设（）是一个二维随机变量，且（）>0，（）>0，则称为和的相关系数。

具有以下两条性质：

性质1.1：≤≤1。

性质1.2：OO= 1的充要条件是存在常数和，使得{ = + } = 1。

对相关系数作以下四点说明：

（i）相关系数反映的是两个随机变量和之间的线性相关程度的强弱，因此，也被称为线性相关系数。

（ii）若 = 0，则称与不相关。不相关是指与之间不存在线性关系，但与之间可能存在着其他的函数关系，譬如指数关系、平方关系等。

（iii） 若 = ？，则称与完全相关。若 = 1，则称与完全正相关;若 = ，则称与完全负相关。

（iv） 若0

2 相关系数性质的证明

这里我们将主要讨论相关系数性质的三种证明方法。

2.1 证法一

先利用切比雪夫不等式证明引理1。

引理1 随机变量的方差（） = 0的充要条件是：{ = （）} = 1。

再运用一元二次方程实数根的判别方法得到引理2。

引理2 （柯西-许瓦兹不等式）设（）是一个二维随机变量，（）

≤（）・（）。

性质1.1的证明： 记，由引理2有：

即≤≤1。

性质1.2的证明：由引理2可知：OO= 1的充要条件是存在常数，使得，又因为，所以OO= 1的充要条件是，由引理1可知， OO= 1的充要条件是存在常数使得。我们记 = ， = （）（），即有{ = + } = 1。

2.2 证法二

性质1.1的证明：记，构造辅助函数。

由 = （） + （） = 0，得 = 。记 = ，

由于所以≥0，即≤≤1。

性质1.2的证明：由上面的证明过程可知，OO= 1的充要条件是，考虑到，由证法一中的引理1即有OO= 1的充要条件是，其中 = = ，则有：

{ = + （）（）} = 1

我们记 = ，则 = （）（） = （）（），性质1.2得证。

在证明二中不仅证明了的存在性，并且给出了的具体表达式。由于 = ，且（）>0，（）>0，因此，当OO= 1时，≠0。故性质1.2的更准确地表述为：OO= 1的充要条件是存在常数和，且≠0使得{ = + } = 1。

那么要问，在证法一中能不能也得到≠0呢？答案是肯定的。在证法一中已证明了OO= 1的充要条件是存在常数，使得。此时若 = 0，则，即有（） = 0，这与（）>0矛盾，故 ≠ 0，而 = ，即≠0。

2.3 证法三

性质1.1的证明：记易知，

（） = （） = 0， （） = （） = 1， = = （）

（ ？） = （） + （） ？2（）

= 1 + 1 ？2 = 2 （1 ？）

由于（ ？）≥0，所以（1 ？）≥0，即≤≤1。

性质1.2的证明： = = 1的充要条件是（） = 0。由引理1知（） = 0的充要条件是（ = ） = 0。又因为

故 = 1的充要条件是{ = + （）（）} = 1，同理 = 1的充要条件是{ = + （）+（）} = 1，我们记 = ，则 = （）（） = （）（），性质1.2得证。

3 相关系数在线性回归中的应用

在上面三种证法中，证法二和证法三得到的结果更为深刻，给出了和的值：

= ， = （）（）。

这一结果在解释一元线性回归分析是有用的。设有（）的观察值（ ， ）， = 1，2，…。则样本相关系数是：

样本相关系数可作为的估计。当≈1时，可近似认为≈1。这时根据性质1.2，自然可考虑线性回归函数 = + ，其中 = ， = （）（）。由矩估计法，可建立（）， （）， （）， （）的估计分别为：

由此得到和的估计值：

这与最小二乘估计法得到的结果是一致的。

参考文献

[1] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

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[3] 钱伟民，杨筱菡.关于相关系数性质的三种证明方法[J].大学数学，2009.25（1）：176-178.

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