浅析二次曲线在平面散乱数据点拟合中的应用

摘要：二次曲线是学生对散乱数据处理时常用的方法.本文中通过对平面数据点二次曲线拟合的介绍，提出了基于代数距离的求解方法.通过代数距离来定义目标函数，并在多种约束条件的情况下得到基本的二次曲线，最终的二次曲线再通过系数加权平均来得到.通过实例将这种方法和误差进行了介绍，并说明目标函数在代数距离理论中的几何意义.

关键词：二次曲线、平面散乱数据点；拟合；最小二乘法

相似于其他一些拟合的问题，用二次曲线解决拟合问题的关键也是要找到目标函数，这不仅会影响到拟合的误差和拟合过程的复杂度，同样会对曲线参数的准确性有较大影响[1 ] .

一、平面数据点的二次曲线拟合

1.问题描述

当n个数据点散乱分布在平面上，每个数据点的坐标值可设为（xi，yi）（i=1，2，，，n），通过一条一般为隐式方程式的二次曲线对n个数据点进行拟合处理，将误差控制在范围1内，改二次曲线的隐方程可以表示为下面的形式： Q（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

（1）

于是改问题的关键转化为找到合适的目标函数I，且I与xi，yi是相关的，使得二次曲线隐方程找到6个系数，将已知的n个数据点的拟合效果满足I=min

根据最小二乘法的原理，想要使得I=min，通过理论分析可知，需求解如下的方程组： 5I5A=0

（2）

解这个方程组时因存在零解的问题，还需要其他的附加条件进行约束，从而将工作转化为约束条件的选取问题上.

2.以往的工作

在通常进行方程组（2）求解的过程中，为避免零解的问题，通常设置以下几种约束条件： ①令A+C=110. ②令A2+B2+C2+D2+E2+F2=110. ③令F=110. ④通过二次约束条件DTDp=KCP来表明约束矩阵.

这几种方法分别运用不同的特点进行二次曲线的拟合，尽管产生不同的效果，但是也存在计算量大、拟合效果不够好的问题，下面本文将提出自己的观点和方法.

二、基于代数距离的二次曲线拟合的新方法

1.方法描述

对于平面上面给定的n个数据点，坐标为（xi，yi）（i=1，2，…，n），将二次曲线设为Q（x，y），将目标函数设为I，欲使得I=min，可以通过对极值方法的运用[4 ]，将方程组（2）求解，取A=110，并将A=110代入I，以免出现零解，求得结果后分别采用同理将C、D、E、F分别取110，最终得到6组解如下：

① coef1=[A1，B1，C1，D1，E1，F1]，A1=110

② coef2=[A2，B2，C2，D2，E2，F2]，B2=110

③ coef3=[A3，B3，C3，D3，E3，F3]，C3=110

④ coef4=[A4，B4，C4，D4，E4，F4]，D4=110

⑤ coef5=[A5，B5，C5，D5，E5，F5]，E5=110

⑥ coef6=[A6，B6，C6，D6，E6，F6]，F6=110

这6组解会构成6条不同的拟合曲线，但在某些时候可能出现误差问题.为避免误差的问题，可以对6组解分别进行组合系数确定方法，可以令：

Ii=∑nj=1 （Aix2j+Bixjyj+Ciy2j+Dixj+ Eiyj+Fi）2，

S=[∑5i=1AiIi+（1-A1-A2-A3-A4-A5）I6]2 .

使得S=min，从而求得6个构成二次曲线的系数，并获得二次曲线的隐式方程[ 3].

2.本文方法的实验结果和误差

本文中采用的方法主要是在代数距离的基础上进行设计的，可以将其结果与基于代数距离方法的拟合效果进行误差比较，对于相似的随机点，本文中的方法得到的大部分结果能够保证代数距离的最小，特别是针对扰动较大的数据点，采用本文中的方法会得到更好的拟合效果和更小的拟合误差.

例如，当萁舌线y= 4a3x2+4a2（a=0145） 上面取均匀点时，通过在区间x∈[-2，2]上，每次x+0.1所得到的误差曲线如图1所示.

图1 从萁舌线上取点时误差曲线比较 从图1中能够明显的看到误差差异.

参考文献

[1] 陈京，袁保宗，文富荣. 一种基于曲率约束的不完整超二次曲线拟合[A]. 第十二届全国信号处理学术年会（CCSP-2005）论文集[C]. 2005.

[2] 刘海香，张彩明，梁秀霞. 平面上散乱数据点的二次曲线拟合[J]. 计算机辅助设计与图形学学报，2004（11）.

[3] 曾芳玲，陈效群，冯玉瑜. 二次曲线的多项式逼近[J]. 计算机辅助设计与图形学学报，2003（5）.

[江苏省苏州高等职业技术学校 （215000） ]