浅析中考数学类比思想方法的考查

类比法（Method of analogy） 也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法.通过类比得到的结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大.类比思想在初中数学教材的很多体现.例如不等式的性质，一元一次不等式的解法等内容时多采取与等式的性质，一元一次方程的解法等做类比；再如“角的度量、角的比较大小、角的和、差及平分线”，可与线段的相关知识进行类比；又如三角形全等的条件与性质和三角形相似的条件与性质进行类比，相似多边形的性质和相似三角形的性质类比等等.类比思想是中考数学考查的主要内容之一，其考查方式有如下几种典型形式.

1 条件类比型

条件类比是两个对象（通常是定理，公式，对应法则等）之间的条件关系而进行的类比.

例1 （2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AFEF=3，求CDCG的值.

（1）尝试探究.在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，CDCG的值是 .

（2）类比延伸.如图2，在原题的条件下，若AFEF=m（m>0），则CDCG的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程.

（3）拓展迁移.如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若ABCD=a，BCBE=b（a>0，b>0），则AFEF的值是 （用含a，b的代数式表示）.

本例借助探索在平行四边形ABCD中，尝试探究求CDCG的值所获得经验，类比探索梯形ABCD中类比迁移求AFEF的值，本例属于条件类比，是在平行四边形ABCD中，根据EH∥AB探究求CDCG的值与梯形ABCD中，DC∥AB，若ABCD=a，BCBE=b（a>0，b>0），则AFEF的值，这两个对象之间的条件关系而进行的类比.本题的逻辑模式如下：在平行四边形ABCD中，根据EH∥AB，因而有两次三角形相似，求出CDCG的值；梯形ABCD中，具有DC∥AB，若ABCD=a，BCBE=b（a>0，b>0），所以也有两个三角形相似可以求AFEF的值.类比法的特点是“先比后推”.“比”是类比的基础，“比”既要共同点也要“比”不同点，共同点越多，相同条件越多，共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大.各小题满足作平行线，得出两组三角形相似这两个对象之间的共同点是类比法能够施行的前提条件，两个对象之间的不同点是合情推理，找到类似的结论，再通过演绎推理，求出AFEF的值，提高解决问题的能力.

2 性质类比型

性质类比又叫质料类比，它是根据对象（通常是概念或定义等）之间的相同或相似属性而进行的类比. 例2 （2012黄石）如图4，等边ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线B1C1AC于C1交AB的延长线于B1.

（1）请你探究：ACAB=CDDB，AC1AB1=C1DDB1是否成立？

（2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问ACAB=CDDB一定成立吗？并证明你的判断.

（3）如图5，RtABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=403，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD与F.试求DFFA的值.

本例由等边三角形到任意三角形，直角三角形，探究线段的比值，考察类比思想，本例属于性质类比又叫质料类比，它是根据对象线段AD为其内角平分线，从而探究出对应线段的比例式的相同或相似属性而进行的类比.本题的逻辑模式从特殊到一般，是从特殊的等边ABC中，线段AD为其内角平分线，探究：ACAB=CDDB，AC1AB1=C1DDB1具有性质ACAB=BCAC；类比联想到一般三角形也具有性质对应线段的比例式AD为ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到 CDDB=ACAB=8403=35，又AEEB=5403-5=35，则有CDDB=AEEB，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得DEF∽ACF，即有DFFA=EFFC=AEAC=58，所以再通过合情推理和演绎推理，动手画图操作，提高解决问题的能力，考查学生对从特殊到一般中所蕴含类比思想的数学本质的理解.

3 关系类比型

关系类比是根据两个对象（通常是方法，思维，推理，归纳的过程等）之间的关系而进行的类比.

例3 （2012广东湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式x2-4>0

解：因为x2-4=（x+2）（x-2）

所以x2-4>0可化为

（x+2）（x-2）>0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

①x+2>0

x-2>0 或②x+2

x-2

解不等式组①，得x>2，

解不等式组②，得x

所以（x+2）（x-2）>0的解集为x>2或x

即一元二次不等式x2-4>0的解集为x>2或x

（1）一元二次不等式x2-16>0的解集为 ；

（2）分式不等式x-1x-3>0的解集为 ；

（3）解一元二次不等式2x2-3x

本例通过借鉴以前研究不等式所获得经验，类比探索解一元二次不等式的方法.本例属于关系类比.它是根据“解一元二次不等式x2-4>0，的本质由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得一元二次不等式x2-4>0的解集为x>2或x0的解集的本质由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得到分式不等式的解集”两个对象之间的关系而进行的类比.本例的逻辑模式解一元二次不等式x2-4>0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”的分类思想方法和类比思想方法本质具有思维，推理，归纳等关系讨论分式不等式x-1x-3>0的解集的分类思想方法和类比思想方法本质.通过合情推理，找到类似的分类思想方法和类比思想方法本质，再通过演绎推理，提高解决问题的能力.

略解：（1）因为x2-16=（x+4）（x-4）所以x2-16>0可化为 （x+4）（x-4）>0，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得x+4>0

x-4>0或x+4

x-44，解不等式组②，得x0的解集为x>4或x0的解集为x>4或x

（2）因为x-1x-3>0所以x-1>0

x-3>0或x-1

x-33或x

所以2x2-3x

2x-3

2x-3>0解不等式组①，得0

作者简介 冯宏剑，男，1973年生，江苏南京人，中学高级教师，主要从事数学教育与中学教学研究，多篇文章在省级期刊上发表，每年都有文章南京市论文评比获奖.