在“等差数列”和“等比数列”教学中应用类比法的尝试

摘要：在数学教学中，运用类比法还有利于培养学生的思维能力和推理能力。本文旨在分析类比法在“等差数列”和“等比数列”教学中的应用，以更好地研究、推广该教学法。

关键词：等差数列 等比数列 类比法

中图分类号： G633.6 文献标识码： C 文章编号：1672-1578（2014）6-0126-01

数学思想和数学方法属于数学基础知识的范畴，是数学思维的基础和核心。在数学数学中，有意识地利用教材的优势，渗透数学思想和方法，对于提高学生的创造性思维能力大有益处。类比法就是一种重要的教学方法。

在中学数学教材中，许多概念、公式、原理是类同的，如果教师在教学中，把握适当的机会，运用类比法，既能增强学生对知识的记忆和理解，又可免除同类概念和理论的混淆，能使教学收到事半功倍的效果。

在高中数学教材中，等差数列和等比数列是比较重要也比较难学的教学内容，一般的教学过程是：按照教材编排的顺序先教学等差数列，然后再教学等比数列，是把两者分开来实施教学的。这样一来我们发现诸多弊端。为了提高教学效果，笔者对该部分内容的教学情况进行综合分析，尝试使用了类比教学法，即对这两种数列采用平行的、对照式的方法加以教学，收到了良好的效果。

为了引出等差和等比这两种数列，笔者先提出一个实例：某化工厂一月份的销售量是1吨，之后每一个月比上一个月多销售2吨，计算出1-5月每月的销售量；如果以后每个月的销售量是前一个月的1.5倍，又是怎样的情况呢？

笔者把这两种数列并列地写在黑板上，此外还出示了一些别的数列：

此时，我们可以把全班学生分成两组，让他们分别观察上面的一左一右的两种数列，并给学生充足的讨论时间，探究它们各自的相同点。因为学生有一定的知识做基础，通过讨论分析和教师的适当点拨，学生很易发现两排数列各自的构成特点。于是学生就顺理成章地得出了等差数列和等比数列的定义：

1、如果一个数列，从第2项起，每一项和它的前面的一项的差等于同一个常量，那么这个数列就叫做等差数列。

2、如果一个数列，从第2项起，每一项和它的前面的一项的比等于同一个常量，那么这个数列就叫做等比数列。

这时，教师引导学生对其定义进行比较，然后分析归纳其异同。接着我们再回到上面提出的问题上来：如果这个化工厂的销售量仍然是按原来的规律递增，那么第十个月销售量是多少？一般说来，第几个月的销量怎样求？这就导致等差（比）数列：a1，a2，a3…，an的通项公式的导求。

在教学过程中必须重视的是： 一定要把等差数列通项公式的导出作为重点进行透彻分析：为了求出an，逐次写出a2，a3，a4…，借以观察其间的现象。可以看出a2，a3，a4等等，都是首项a1与公差d的若干倍的和，其倍数恰好等于项数与1的差。从而得出：an=a1+（n-1）d。至于等比数列的通项公式，就可以让学生仿照等差数列的办法，独立地推导了。于是在黑板上就出现了下面的板书，左面是教师写的（等差数列），右面是学生写的（等比数列）：

前n项的和Sn公式的推导是比较困难的，因为对等差数列和等比数列所用的证明方法完全不一样。在证明了等差数列前n项和的公式后，学生很自然地想用类似的方法，解决等比数列前n项和问题，结果却归于失败。这样也好，教师在强调它们证明的不同点时，学生就特别注意了，也防止和纠正了学生不分清红皂白胡乱套用的错误。

为什么这两种数列在通项公式的推导上是那样酷似的，而前n项和公式的推导却不一样？原来二者的前几项和公式不是“对应命题”。与等差数列前n项和（Sn）的公式对应的是等比数列前n项积的公式。让学生仿照等差数列求Sn的方法，就能导出求等比数列前n项积的公式来：

设：Sn=a1+a2+a3+…+an

则有：Sn=an+an-1+an-2+…+a1

二式相加得：2 Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+ …+（an+a1）

因为在等差数列里距首末两项等距离的两项的和都等于首末两项的和。所以：2 Sn=（a1+an）+（a1+an）+ …+（a1+an）=n（a1+an）

仿上，设：qn=a1a2…an

则也有：qn=anan-1…a1

两式相乘得：qn2=（a1an）（a2an-1）…（ana）

因为在等比数列里距首项等远的两项的积都等于首末两项的积，所以qn2=（a1an）（a1an）…（a1an）=（a1an）n

数列的am=anqm-n）和许多习题，都采用了对比法讲授。

通过教学实践，笔者认为这种教学法有利于培养学生的逻辑思维能力和分析推理能力。如果把等比数列和等比数列分先后进行教学，学生学到的知识是相对孤立的，由于缺乏类比分析，对知识的理解有时又是肤浅的。有的甚至割断了彼此间的逻辑关系，解题时生搬硬套公式，不能形成系统的数学思想。等到综合应用练习时，问题就暴露出来了：分不清是等差还是等比。而用类比法进行教学就可以拓展学生思维的广度和深度，有效地解决这些问题。所以，在教学等差数列和等比数列时，不妨根据学生的认知特点，深入探究类比法，灵活运用。