时间：2023-03-02 20:55:04
1.明确等差数列的定义.
2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题
3.培养学生观察、归纳能力.
教学重点
1.等差数列的概念;
2.等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式数学
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。(放投影片)
(Ⅱ)讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点?
1，2，3，4，5，6;①
10，8，6，4，2，…;②
③
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)
对于数列②-2n(n≥1)
(n≥2)
对于数列③(n≥1)
(n≥2)
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2，。
二、等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
若将这n-1个等式相加，则可得：
即：即：即：……
由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①(1≤n≤6)
数列②：(n≥1)
数列③：(n≥1)
由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解
例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?
解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
(Ⅲ)课堂练习
生：(口答)课本P118练习3
(书面练习)课本P117练习1
师：组织学生自评练习(同桌讨论)
(Ⅳ)课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即(n≥2)
②等差数列通项公式(n≥1)
推导出公式：(V)课后作业
一、课本P118习题3.21，2
二、1.预习内容：课本P116例2—P117例4
2.预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?
②等差数列有哪些性质?
板书设计
课题
一、定义
1.(n≥2)
一、通项公式
2.公式推导过程例题
1.明确等差数列的定义.
2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题
3.培养学生观察、归纳能力.
教学重点
1.等差数列的概念;
2.等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式数学
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。(放投影片)
(Ⅱ)讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点?
1，2，3，4，5，6;①
10，8，6，4，2，…;②
③
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)
对于数列②-2n(n≥1)
(n≥2)
对于数列③(n≥1)
(n≥2)
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2，。
二、等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
若将这n-1个等式相加，则可得：
即：即：即：……
由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①(1≤n≤6)
数列②：(n≥1)
数列③：(n≥1)
由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解
例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?
解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
(Ⅲ)课堂练习
生：(口答)课本P118练习3
(书面练习)课本P117练习1
师：组织学生自评练习(同桌讨论)
(Ⅳ)课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即(n≥2)
②等差数列通项公式(n≥1)
推导出公式：(V)课后作业
一、课本P118习题3.21，2
二、1.预习内容：课本P116例2—P117例4
2.预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?
②等差数列有哪些性质?
板书设计
课题
一、定义
1.(n≥2)
一、通项公式
2.公式推导过程例题
关键词：数学课堂；教案分析；反思教学
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）22-077-2
数学课堂教学应该是学生在课堂上真实的、生动的思维过程的再现，而不是老师预先准备的教案的机械表演，把“舞台”还给学生，自己退居幕侧，当好导演，使学生在广阔的思维空间中信马由缰，在整个教学过程中，师生没有思想包袱，无牵无挂，逢山开路，逢水架桥，让探究演绎真知。
【案例描述】
上课伊始，老师在黑板上写出上节课后留下的思考题：
已知数列{an}中，a2=2，an+1=an2an+1（n∈N*），求数列通项公式an。
让学生各抒己见，充分发表自己的观点，老师一一笑纳，并不失时机地给予点拨引导，帮助学生在反思的基础纠正错误，进入正确的解题方向，下面是对这部分教学过程的描述：
学生1：由a2=a12a1+1，a2=2，得a1=-23，故d=a2-a1=2+23=83.
an=a1+（n-1）d=83n-103
老师：你用等差数列通项公式求出了an，但，你知道这是等差数列吗？
学生：不知。
老师：不是等差数列，能用等差数列的公式吗？
学生：不能。
老师：对呀！只有确定了数列是等差数列，才能用等差数列的有关知识。请大家务必要防止这种对公式盲目的“套用”现象。
学生2：由递推公式，可以求得此数列的前4项为：-23，2，25，29，统一形式为：2-3，21，25，29。则易知此数列中的项是一个分数，且分子都是2，分母依次组成等差数列，从而得：an=2-3+（n-1）4=24n-7.
老师：这位同学非常好地运用了“通过前几项排列的规律，获知第n项结果”这种从具体到一般的数学思想方法，完成得很精彩，我相信所有的同学肯定都有同感，这种方法很值得大家借鉴、学习。（话锋一转）但我总有这么一种担心，a5是不是仍符合前四项的这个规律？
学生：有，我算过a5=213。
老师：那a6呢？（静观学生中的反应，然后）a7呢？…应该承认，以后的项是否仍有这样的排列规律，的确不得而知，在没有找到这样的保证之前，这位同学的结果，只能算是对an的一个猜测（推测）。
老师： 猜测需要证明（找到保证）！
（引出新问题：怎么证明？还是另辟途径？）以下是另辟途径的启发、引导过程。
老师：你们都确信an=24n-7是正确的吗？
学生：是。
老师：那么{an}确实不是等差数列，因为等差数列的通项公式是n的一次函数形式，而an不是，但…（让学生思考）。
学生：1an=2n-72是n的一次式，因而{1an}是等差数列。
老师：受此启发，大家不是找到解题的新方向了吗？
（师生一起：论证：1an-1an -1 =2）
老师：动手试一下。
（让学生板演推论过程后）
老师：由于证明了{1an}是等差数列，因此，可以应用等差数列的通项公式得：
1an=1a1+（n-1）·2，求得an=24n-7
老师小结：在猜想结果启发下，我们发现了一个相关的等差数列{1an}，进而通过等差数列的知识解决了这个问题。这条思路的发现方法，又是非常值得同学们学习和仿效的。对猜想结果的论证，用以后学习的数学归纳法这种论证方法一般都可以方便地解决。因此，在数列问题中，算前几项，猜后面的项是行之有效的解决方法。
用类似的方法，请大家思考下面两道题，作为进一步的学习材料：
（1）数列{an}中，a1=3，an= 2an-1-1（n∈N，n>1），求an。
（2）已知数列{an}的前n项之和 Sn=3+2n-2n，求an。
……
【案例评析】
本案例采用了师生互动的探究式教学方法，与传统的讲授式教学法相比：
1.课堂教学的“密度”并没有因为“探究”而降低。教学的内容包括知识学习与能力培养等方面，用此教学法，一堂课讲的例题的数量也许是少了，但一方面由于学生的主动参与，身临其境，全面经历了问题解决和“舞台”表演的全过程。这里面有成功体验，更有失败教训，但一切都弄得明明白白，成也明白，败也明白。而这一切对学生的学会学习和今后的成长都是难能可贵的。真实发生的一切所留下的深刻印象更有助于学生对知识的理解和掌握，且不易遗忘。另一方面，学生反馈的信息使教师了解了学生，能够为学生作适时的点拨，更能激发学生思维的火花，提高分析问题和解决问题的能力。
2.课堂教学真正成为教师与学生既分工又协作的有机结合体，教学效益达到最佳。在本案例描述的教学过程中，教师扮演的不是无所不能而居高临下的权威角色，而是整个教学活动的组织者，参与者和指导者，更多是“导演”的身份，而学生扮演着真正的“演员”。教师事先就将教学内容分成三类，设计并采用了截然不同的教学方法：第一类为学生自己能独立完成的，结果全都让他们独立去完成，教师不代替；第二类为学生不能独立完成，但能在教师指导下完成的，教师就点到为止，扶学生一把；第三类为确实要教师传授的，教师才适时进行讲授。这样，教师做教师的事，学生做学生的事，课堂上，教师的教与学生的学井然有序，自然创造最佳效益。
3.解题能力培养是贯穿始终的一个重要的教学内容，而这方面，本案例做得更为突出！著名的数学教育专家过伯祥先生在评《解析几何中的两圆问题——探索性习题训练案例》时指出：一个典型的例习题，对教学来说，决不是“（应）怎么去解？”更重要的是“（可，该）怎么去想？”的问题，对一个例习题作多角度分析，给学生的发展所带来的好处是无容置疑的。本案例正是教师在这方面的又一成功探索和尝试。在教学过程中，教师在教育、引导学生对问题“（可、该）怎么去想”方面，作了大量的引导，方法上也下了很大功夫，观察学生，思维被有效激活，发言踊跃，对学习表现出极大兴趣。有理由相信，假以时日，经历过“舞台”的学生定会成为这种训练的最终受益者。
【案例启示】
《高中数学课程标准》指出：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。数学教学中引导学生进行探究学习，能最大限度地调动学生参与学习的积极性，发挥学生自主探究的能动性，使课堂教学焕发出勃勃生机。如何开展有效的探究式教学，把“舞台”还给学生，该课例给我们以启示：
（1）要了解学生的认知基础，选取有探究价值的教学内容；
（2）要创设好探究学习的教学环境，让学生积极思考，乐于探究；
（3）教师要为探究活动的顺利开展设计好教学环节；
【关键词】导学案；自主学习；精讲互动；达标训练
随着教育教学理念的不断改革，传统的教育模式、教学方法、教学手段正在逐渐被取代和改进.“导学案”教学是根据学生情况，以课本为主体，以充分发挥学生作用为目的的教学模式；导学案主要由自主学习、精讲互动、达标训练三部分构成.导学案的出现对本人的教学理念起到了很大的帮助和引导.
下面就结合具体教学内容对导学案的三部分做简要阐述.
首先是自主学习，自主学习是在教学过程中以学生为主体，学生主动阅读了解本堂课基本学习内容的学习活动.
例如，在学习“等差数列”过程中，首先，教师拿出10分钟的时间留给学生自主学习.在这个过程中，学生集中精力研究课本内容，以导学案教案上所设计的问题为切入点，完成导学案设计的三个问题，此环节三个问题的设计能够引导学生更容易地认识等差数列.其次，学生在教材上勾画出等差数列的概念，对等差数列进一步认识.导学案自主学习的设计将等差数列殊的常数列很清晰地以问题形式展现给学生，并通过等差数列的概念要求小组成员讨论出判断数列是否为等差数列的方法.这样的设计不仅使学生很好地了解本节课程需要掌握的基本内容，而且将基础知识的应用直接展现在学生面前；再加上学生的学习是在自身原有知识水平的基础上进行的，而自主学习的设计恰好符合循序渐进的原则，既容易接受新知识，又能激发学生的兴趣，长期进行这样的教学方式，有利于培养出学生独立阅读问题与思考问题的能力.因此，作为教师应该有意识地培养学生自主学习的能力.
其次为精讲互动，精讲互动就是紧扣教学目的，突出重点难点，少而精地教学，创设教学情境，提出问题，调动学生学习的积极性.这一环节是教师发挥指导作用的关键环节.例如在学习“等差数列”过程中，学生在自主学习部分已经掌握了等差数列的概念，并初步能够对一个数列是否为等差数列判定给出方法，当然同时也伴随着对部分知识点的疑问，而此时应该是学生听课注意力最集中的时候.
导学案在精讲互动环节的设计如下：
1.等差数列定义的强调，教师在学生已掌握知识的基础上用两分钟强调本节课的一个重点，更进一步加深学生对等差数列概念的理解.
2.教师利用八分钟的时间讲解等差数列通项公式的推导问题，注重方法的强调，解释本节课程的难点，并要求学生在听完课程讲解后，能够口头将该问题讲述给所属自主发展小组成员，并认真做好学习笔记.利用“学生教学生”的模式充分调动了学生的学习主动性，使课堂的难点得到很好的解决.
3.利用通项公式解决有关问题，这一点教师不需要讲解，给出提示“直接观察得到首项、公差代入通项公式”，让学生以小组为单位，根据提示完成例题.而此时教师的任务就是一名引导者，巡回辅导，个别答疑，着重帮助学困生以及解决组内出现的问题；在学生独立讨论时，教师一般不打断学生的思路让学生停下来讲解，以免影响学生思维，当教师发现大部分学生共同存在的问题时，教师会组织学生讨论、研究，及时解决问题.在精讲互动中，精练有效的问题设计不仅抓住了学生学习的高效时间，而且教师的精讲解决了重点，突破了难点，使导学案教学的优势明显体现出来，达到了高效课堂的目的.
最后为达标训练，达标训练就是以往教学中的练习，但不一样的是多了“达标”二字.这两个字却是导学案教学的精髓，也是检验学生学习能力的试金石.而它的设计不仅要以课本为主题，更多的是围绕课堂重点和难点展开训练.导学案在此环节要求题量适中，学生能在当堂课内完成，训练目的要有针对性、典型性，有梯度.教师在此环节，更多的是针对个别学生的学习指导，待学生完成后分别由自主发展小组派学生代表讲解例题；此过程，学生不仅对所学知识进行了一定程度的训练，而且锻炼了学生的独立思考能力和演讲口才，为进一步实施“学生教学生”模式做好铺垫.
导学案教学，明显体现了教学优势，打破了传统的教学模式，更注重学生的主体地位，转“被动学习”为“主动学习”，无形中提高了学生动手动脑“动嘴”的能力.“导学案”教学突出学生的主体地位与发挥教师的主导作用的关系，不仅重视提高学生的成绩，更要关注其态度、方法和能力，着力培养学生自主学习的学习品质等.实施“导学案”教学是推进新课程教学改革的一种教学模式，对于促进新课程的发展奠定了良好的基础，也为学生自身的发展建立了良好的学习习惯.当然，由于本校实施“导学案”时间比较短，教学模式还处于摸索期，很多教学问题需要在今后的教学实践中去进一步解决，但坚信导学案的教学模式会更有利于学生的成长.
【参考文献】
[1] 王俊亮. 导学案在高中数学命题教学中的应用研究[D]. 济南：山东师范大学，2011.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2009.
[3] 吴肖精. 高中数学研究性学习的探索[J].高等函授学报（自然科学版），2010（2）.
[4] 李中宁. 新课标下中学数学运用“导学案”教学的实践与反思[J].河北：学周刊：A，2010（12）.
自然思维――根据自我认知，合情推测，想当然地、顺其自然地思维.
直觉思维――根据知识经验，自觉和直接的思想方式.直觉思维往往表现为潜意识、下意识和无意识的，是非逻辑思维的一种思维形式.[1]在教学中如何关注学生主动性思维的培养，本文以人民教育出版社高中课程标准实验教材《数学》必修五数列部分内容和课堂教学案例来作为尝试.
一、求通项公式两种教学设计的对比
在介绍等差数列通项公式时，根据教材给出的方法，常见的教学设计是：
教师问：由等差数列的定义，前后两项之间的关系是什么？
学生写出：a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.
教师再问：各项如何用a1，d来表示？
学生写出：a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d，…
教师请学生填空得到通项公式an=a1+（n-1）d.
然后教师进一步说明这种方法的意义是由个例归纳出一般，是一种合情推理（合理猜想），关于其证明涉及以后的数学归纳法.
据笔者了解，当前大多数教师基本采用这一方法，并且制作了相应的课件.笔者认为，这样的教学方式，只是一种启发引导式的思维培养，看似学生参与了，实质上还是停留在学生由教师主导下被启发引导的一种思维方式，还没有充分体现出让教学的主体――学生自主学习[2]，或者说主动性思维的层面.
笔者的教学方案是：
教师设问：等差数列是一种有规律的数列，这个规律是什么？他的通项公式如何探究？
学生讨论后答：规律就是定义，通项公式可以从项与项之间的关系来推测.
教师要求：
那么请大家进行自主探求.
学生们讨论后基本上有两种方案.
（1）由定义得a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.
a2=a1+d，a3=aa+2d，a4=a1+3d，…，推测得an=a1+（n-1）d.
（2）由a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，把以上各式相加得an-a1=（n-1）d，an=a1+（n-1）d.
教师小结：这两种方法都很好，各有特点.
方法一反映了归纳推理、合情猜想的思维，但是归纳猜想的结论是否正确，需要严格的演绎证明.关于这个证明，今后的证明方法中专门会介绍数学归纳法.
方法二是一种很好和有用的推理证明思想――“累加法”.凡是相加可消去中间项的都可以尝试这种方法.
这样的教学方案，在体现学生主动性思维上显然比第一种方案要好，它注重了学生的自然思维和直觉思维.只要我们有意识，这种教学设计可以在其他内容上继续尝试.
二、求前n项和两种教学设计的对比
在介绍等差数列的前项和时，大部分教师参照教材一开始给出的高斯思想进行提示，并且再把这个思想与求和结合起来.其实许多学生，尤其是初中学过和课前预习过的学生，他们的思维就只停留在高斯的思维引导下，而缺失了自觉主动创新思维的意识，只感受到了高斯的“聪明”，而没有意识去尝试这种“聪明”思维自己能否产生和如何产生.这样被动的思维培养其实只是一种形式而已，这样的思维过程也很不“顺其自然”.如果意识到主动性思维的培养，可以设计这样的教学方案.
教师不作任何提示，直接让学生尝试求和. 学生思考后，基本能够自然地利用通项把每一项的第一个相加，第二个概括在一起得到：Sn=na1+[1+2+…+（n-1）]d. 到了这里，学生们就能自然而主动地想到求Sn就是求1+2+…+（n-1）.关于自然数求和，有的学生就回忆起了高斯方法.更可喜的是，即使没有想到高斯，从1+2+…+（n-2）+（n-1）的形式看，大多数学生也想到了1+（n-1）=2+（n-2）=…，也就是说“与首末等距离的两项之和相等”，这样就得到了Sn.
如果是1+2+…+n呢，显然也成立.
到此，再请学生们看高斯的思维，学生们就会自信地感到自己和高斯一样可以创造性地思维，就会增加学习的主动性和兴趣.
教学至此，教师只要提一句：等差数列有否这个性质？
几乎全体学生都能得到等差数列有这样重要的性质：“与首末等距离的两项之和相等.”即a1+an=a2+an-1=….从而自然想到Sn的求法是Sn=a1+a2+…an，Sn=an+an-1+…+a1，2Sn=n（a1+an），Sn==na1+d.
三、通过习题检验两种设计的效果
至此，求和已完成，接下来是巩固和拓展.
教师小结重要的两点：
1.数列的问题往往要从项着手分析，同学们想到的“拆项法”很重要和有用，比如把每项拆成两个甚至多个，分别将第一个，第二个…合并求和.再比如拆成两个后有可能前后有关联，请学生做课本P47习题4.
对于习题4，本来有许多学生是陌生和困难的，但由于有了前面的思维基础，大多数学生这时能很自然地得到：
Sn=++…+=（-）+（-）+…+（-）=1-.
教师进一步提出求Sn=++…+. Sn=+++…+.
并提醒学生注意不同的细节.
教师更进一步提出对于等差数列{an}，求Sn=++…+.
从具体课堂效果来看，学生会顺利解决并自主总结出方法――拆项相消法.
2.等差数列的重要性质：“与首末等距离的两项和相等.”即a1+an=a2+an-1=at+an-t+1，这是很有用的性质，利用它可以灵活、快速、准确地解题.在具体问题中，要注意的是如果n是奇数，则中间是一项；如果n是偶数，则中间是两项.
进一步请学生应用练习：在等差数列{an}中，（1）已知a7，求S13；（2）已知a5，a11，求a8，S15；（3）已知S21，求a7+a15.
通过以上练习，学生体会到了用此性质的快捷，激发了主动学习兴趣和求知欲，再次感悟了数学的奥妙和乐趣.
这样的教学设计方案所反映的思维过程完全体现了学生的主动性思维，自然而流畅，而且在思维过程中可以得到有用的重要方法，为后续学习提供基础.
四、在等比数列教学中的应用
在等差数列中有了这样的思维，在接下来的等比数列通项公式教学设计中就可以更自然地让学生主动性地思维.
等比数列通项公式（课本P50）仍然是用探究的方法让学生由前n项的个例归纳猜测的，也没要求给予推理证明.笔者的教学设计改进为：
教师设问：等差数列和等比数列的区别和联系是什么？如何用这种联系和等差数列的通项公式探究方法来得到等比数列的通项公式？
学生讨论后，基本上能明确“差”和“比”的关系，从而除了由个例归纳猜测外，还很自然地由等差数列的“累加法”得到了等比数列的“累乘法”.
由=q，=q，…，=8，各式相乘得到：=qn-1，an=a1qn-1.
趁着学生对两种数列关系的兴趣，教师可进一步让学生回忆等差数列前n项和中有一个什么重要性质，等比数列中相应的性质又是什么.
几乎所有的学生都能主动自觉地意识到“等比数列中与首末等距离的两项的积相等”.即a1an=a2an-1=…=atan-t+1.
然后给出相应的练习让学生体会其重要应用和巩固掌握.
从以上的一些教学设计可以认识到，教材的处理和课堂教学设计对学生主体的学习兴趣、主动性思维培养和知识的主动牢固的掌握运用是非常重要和有意义的.作为数学教师，在这些方面应予以更加重视和加强.只要我们在教学实践上有这样的意识，我们的教学主体――学生的数学思维就会更自觉、自然而有创新，学习数学就会更主动积极而有兴趣.
参考文献：
[1] 许钦彪.谈数学直觉对数学学习的意义和作用[J].数学教学，2013（1）.
1.类比推理在高中数学教学中应遵循的原则
1.1导向性原则
高中各个年级的数学教学内容存在一定的差异，类比推理的实施也会有一定的制约性，这就要求教师根据学生的基本情况制定出行之有效的教学方案，在课堂教学中引用类比推理的方法引导学生完成教学任务。新课标要求在有限的时间内给学生灌输更多的知识，传统的教学模式是行不通的，因此在数学教学过程中要注重目标的导向性原则，让学生在有限的时间里快速地思维。除此之外，教师应该有很强的学科教学驾驭能力和引导能力，课前做好充足的准备工作，对于学生不懂的地方更要做好资料的准备，尽可能吸引学生的注意力，对各个知识点信手拈来，使学生整堂课都能保持良好的学习状态。数学教学一般比较枯燥，教师应该尽可能营造一种融洽宽松的课堂氛围，然后运用类比推理的数学教学方法进行有效教学，构建轻松愉悦的类比环境，通过旧的知识体系类比迁移学习新的知识，实现教学目标。
1.2过程性原则
在类比教学的活动中，尤其对于数学教学来说，更注重的是思维过程，因此教师应该在平时的教学活动中让学生看到思维的过程，提高学生的综合素质，从而让学生主动参与到学习中，激发学生学习数学的兴趣。教师在教学过程中，应该精心设计类比的条件，让问题能够处于学生思维水平的“最近发展区”，并善于让学生回忆旧知识的体系，从而找到与新知识相近或者相似的概念、公式，等等，从而达到温故而知新的目的，让学生在数学思维的过程中展开想象的翅膀。新课标的要求不是简单地让学生记住结论就可以的，而应注重思考过程。这样不仅可以加深学生的印象，还可以提高学生的综合素质，为以后的学习和工作打下坚实的基础。
1.3参与性原则
在教学活动中，学生是参与的主体，基于此，教师在类比推理的教学活动中，应该注重学生的主体参与。教师在课堂上应该营造一种轻松愉悦的气氛，鼓励学生进行创造性的提问，并培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣，逐步形成正确的学习动机，教师不再是推着学生走，而是学生自发地进行学习，学习已经真正成为一种内在的需求。其次，类比推理在数学课堂上的应用，要求学生与老师积极地配合，积极进行互动。教师应该积极地引导学生，让学生在该思考的地方停下来；教师应该细心观察运用类比推理教案的学生的反映，随时控制类比的节奏，让学生进行一定的知识体验。只有这样能加深对旧知识的巩固，从而提高类比教学的效率。
2.类比推理的实践应用
2.1数学概念的类比推理教学
数学概念结构相似上的类比在数学课堂教学中是非常常见的，例如等比数列、等差数列等。等差数列是在等比数列之前就学过的，因此可以利用等差数列的概念，引导学生学习等比数列概念。等比数列的概念可以效仿等差数列的概念得出，教师应该运用贴切的教学方式，形象直观地利用数学概念的结构相似性类比，首先要引导学生这两个词的差别，然后采用类比的方法讲解等比数列，让学生充分发挥自己的思维能力，运用恰当的词语替换等差数列中的关键词语，从而得到等比数列的概念。如果学生不能够顺利地总结出等比数列的概念，教师可以进行适当引导，精心设计问题，例如：“等差数列与等比数列从字面上看只是‘差’与‘比’之间的不同，那么，我们替换一下黑板上等差数列的关键词，我们能有什么新的发现呢？”逐渐深入，避免学生的思维跳跃性过大。在得到等比数列的概念后，教师可以让学生进行一定的等比数列的计算，验证类比出的概念是否正确，加深学生的理解。
2.2数学公式的类比推理教学
在高中数学学习中，数学公式随处可见，这对学生的学习造成了很大的困难，学生记忆公式比较吃力。在引导学生对数学公式的记忆过程中，教师要善于运用数学公式的结构相似性进行类比的教学。例如在高中数学立体几何的教学中，新教材中柱体体积将体积公式放在了主体知识之前，教师应该创造结构相似性类比的条件，让学生通过对比得到数学公式，课本的设计就是要弱化数学公式的演绎推理过程，而提倡让学生通过直观感受得出公式。
2.3数学运算的类比推理教学
高中数学的运算也有一定的相似性，同中存异，数学教师应该巧妙利用这些运算中的相似点，从而进行有效的类比教学。例如在讲概率事件的运算时，因为它的概念比较抽象，教师应该运用类比的方法，设置一定的介质，创造良好的类比环境和条件，采用提问的方式进行讲解，引发学生积极思考，将集合与概率事件结合起来，让学生形象直观地了解，采用类比的方法，让学生想象运用到实际中又是如何计算的，等等。这样有利于学生接受新的运算方法，还能让学生发现和比较两种运算方法之间的区别和联系，方便学生记忆。
方案一，用实例引入，选了一个增长率问题，有某国企随着体制改革和技术革新，给国家制造的利税逐年增加，下面是近几年的利税值（万元）
1000， 1100，1210，1331，……
如果按照这个规律发展下去，下一年应给国家制造多少利税？
以处引出由1000，1100，1210，1331，……所确定的数列，研究这一数列的特点，给出等比数列的定义，这种以实例引入新课的方法自然突出了数学的应用性，同时还可以从中进行爱国主义教育。
方案二，以具体的等比数列引入，先给出四个数列： 1，2，4，8，16，……
1，-1，1，-1，1，……
-4，2，-1， ……
1，1，1，1，1，……
由同学们自己去研究这四个数列中。
每个数列相邻两项之间有什么关系？
这四个数列有什么共同点？
由此引导学生自己去观察、研究，去归纳，从中发现规律，突出了以学生为主体的思想，训练和培养了学生的归纳思维能力。
方案三，以等差数列引入，开门见山，明确地告诉学生，“今天我们这节课学习等比数列”，它与等差数列有密切的联系，同学们完全可以据已学过的等差数列来研究等比数列。
什么样的数列叫等差数列？
你能类比猜想什么是等比数列？试举出一两个例子，试说出它的定义。
方案三比二“更带有激发性，学生参与的程度更强，在几乎没有任何提示的情况下，让学生自己动脑动手去研究，从思维类型来看，这种方法重要是训练和培养学生的类比思维，可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。
由此引发的思考。
如何通过对教材内容的学习，以实现培养能力和提高素质的目的。
从目前高考改革的方向来看，逐步加强对能力的考查，因此，课堂教学的改革也应该以培养能力和提高素质为主线，使“素质教育”和“应试教育”有机的结合起来。可我们在平时的教学中比较重视解题教学，对新课的引入过程，对新知识的形成过程重视不够，将好多可以进行能力培养和训练的机会放过了，认为课堂教学时间紧，能力培养见效慢，不如“精讲多练”实惠，对如何使用课本进行能力培养的问题，也有模糊认识，认为课本怎么写我就怎么讲，既省时又省事，更省力，这些想法带有一定的普遍性。
课堂教学设计的出发点是什么？
由于同一个内容可以产生不同的教学设计，说明不同的教学设计一定有不同的考虑，会实现不同的目的。
教师在备课时，一般容易单纯从教学内容出发，考虑如何掌握所教教学内容为主，对深层次的教学目的考虑不周或不去考虑，这确实是值得我们深思的问题，在这种思想指导下的教学设计经验只停留在知识内容或方法上，而忽视能力和素质要求，缺乏深层次的思考，淡化了过程。 怎样科学、合理地进行教学设计
我们知道，教学质量的关键在于课堂教学，而课堂教学的好坏，关键在于备课，可以说教学的过程是从备课开始的，因此抓好备课这个起始环节是至关重要的。这样摆在我们面前的问题就是如何科学地、合理地进行教学设计，真正把好备课关。
当前的问题是有些老师对备课还重视不够，个别老师的教案是使用多年不变，有的老师只备例题和习题，没有能力培养的意识，也有的老师将能力训练和素质培养纳入教学轨道，但经验不足，训练不知如何下手。因此，我们觉得有必要对如何进行教学设计开展研究和讨论。
课堂教学过程设计要素
在课堂教学设计过程中，既要注重知识、方法和能力的关系，又要突出能力的地位和作用。为此，我们认为教学过程设计的主导思想是有利于学生能力的形成和素质的提高，这是教学改革的方向。
要分析班级的整体状况。
不同的学校，不同的班级的学生的知识基础、能力水平、学习习惯、学习速度、课堂
气氛,……，都有差异，因此在进行课堂教学设计考虑能力要求时，应随学生的思维水平有所区别。在进行具体的教学过程设计时所设问题的大小、难易程度也要因学生而异。 如果一个班级基础很差，就很难在教学过程中设计一个由学生讨论、发现、论证的完整的教学环节。相反，若一个班级的学生的学习兴趣浓厚，有良好的发言习惯，又有一批较好掌握论证技巧的学生，最有可能安排设计讨论的环节，引导学生自已归纳推导出某些数学命题，充分发挥学生的创造性。总之，教学过程的设计要符合学生的实际，要有利于提高他们的思维水平。
要研究课题特点。
教学内容是进行能力训练的素材和载体，不同的教学内容对于培养不同的能力，在其
一、拓宽解题思路，举一反三
由于高三的数学学习任务包括复习高一和高二的所学内容，所以老师应该帮助我们构建知识体系.以往，老师在课堂教学中，通常较为死板，他们虽然也提到了其他解题思路，但是却只是侧重于其中的一种解题思路加以讲解.事实上，由于同学们的认知水平和数学基础的不同，导致他们的解题思路也会有所不同.对于个别同学来说，可能老师主要讲解的这种解题方式并不适应他们的解题过程.所以，老师应该根据同学们的实际情况进行课程安排，尽可能帮助同学们扩宽解题思路，使每名同学都能有所收获，这样同学们在解题时就会根据自己最擅长的解题方法进行解题，从而提高自己的解题效率.
比如在“随机事件及其概率”这部分的知识点的学习的时候，我认为老师应该拓宽同学们的解题思路.老师可以根据相应的情况选择题目，目的就是培养同学们的解题思维能力.数学题目为：“粉笔盒内有3根红色粉笔和5根白色粉笔，数学老师随机将粉笔从粉笔盒中拿出，并且不放回到盒中，那么请问数学老师在第四次拿出的粉笔是红色粉笔的概率为多少.”事实上，对于这道题目，我们可以从两个方面进行解答.比如，同学甲认为：“将所有的粉笔全都拿出来放在一起，其中基本事件就是粉笔的排列方式，所以事件总数为A8，那么我们就不难得出题目的答案为P=C13×A7/A8=38.”而同学乙则认为：“将前面四次拿出的粉笔进行排列，就可以得出基本事件为n=A84，这样也就不难得出答案为P=C13×A37/A84=38.”事实上，这两种解题思路都能得出正确的结果.老师应该鼓励同学们根据自身实际情况采取最适合自己的解题方法.
二、注重变式设计，深化思维
老师通过变式教学，能够引导同学在千变万化的数学现象中把握“万变不离其宗”的本质.数学本质和数学规律是不变的，而高三同学所见到的数学题目却是千变万化的.有些同学拿到题目之后，老是感觉“丈二的和尚摸不着头脑”，我认为这是他们没有把握数学规律所造成的.很多数学题目运用统一数学定理或者公式就能求解，但是同学们在遇到这些数学题时往往只是注意到了数学题目表面的各种数字，而不会从中分析需要使用的数学定理.针对这一情况，老师如果能注重变式探究的设计，使同学们真正地认识和把握数学定理，这样我们在解题时就能够做到胸有成竹.
比如在进行学习“集合与函数概念”这部分的知识点的时候，我们数学老师就是设计了相应的变式探究环节.如：“已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有多少？”事实上，这道题目的解题过程较为简单：“A∪B={1，2}=A，B∈A，B=空集、{1}、{2}和{1，2}.所以答案是4个.”针对这一题目，老师进行变式探究设计.老师通过改变题目中的条件，将其变成这样一道数学题：“已知集合A={1，2}，而集合B满足A∪B=A，那么集合B和集合A之间满足什么关系？”我想，老师还可以将其变成另外一道数学题：“若集合A有n个元素，请问集合A的子集个数为多少？”这两道数学题均为第一道题目的变式题，老师这样进行设计就能帮助同学更好地把握数学题之间的逻辑关系，使同学深化数学解题思维.
三、不断引导反思，积累经验
我们在拿到新的数学题之后，需要分析这道题属于什么类型的题目.对于高三同学而言，我们接触过的题型数不胜数，但是我们往往并不能够直接将这些题目进行分类，这也就使得我们在解题时频频受挫.如何能够确保同学提高自身的解题能力呢？老师如果在解题教学中穿插反思环节，引导同学对自己的解题过程进行反思.同学们通过反思自己的解题思路，就能够从中发现自己在哪些方面存在问题，这样就可以有针对性地加以改正，从而各个击破.我认为老师让同学们进行反思，就是让同学们从做过的题目中总结规律，积累解题经验.
比如在学习高中数学“等差数列”这部分的知识点的时候，老师应该引导同学们进行反思.如题目为：“已知a，b，c这三个实数成等差数列，并且其中满足a+b+c=81，同时14-c、b+1和a+2也成等差数列.请问a，b和c的值分别是多少？”根据题目中的相关条件，这道题的解题过程为：“a，b和c成等差数列，a+c=2b.且a+b+c=81，则可以得出b=27.又14-c、b+1和a+2也成等差数列，所以14-c+a+2=2（b+1），将b=27代入其中，可以得出a-c=40.而a+c=2b=54.这样就可以得出a=47、c=7、b=27.”这道题的解题过程并不复杂，但是仍旧有不少同学得出的答案是错误的.一个问题使同学不够细心，其次同学并没有把握等差数列的本质.所以老师需要同学对解题过程进行反思，然后回到自己的解题过程中进行观察，看自己到底在什么地方出错.要是不够细心，就需要在以后多多注意，确保自己能够细心解题.要是自己没有把握数学定理和相应公式，就需要重新下工夫巩固所学内容.
对情景教学的理解
数学的情景教学可以这样来理解：在教学环境的制约下，以模仿数学家思维活动过程，挖掘数学认识动机、内在联系以及知识的产生和发展的情节为主体的教学手段。在运用这种教学方法的过程中必须注意以下几点：第一，构造思维活动的情节时，以探索启发为主不一定是遵守形式逻辑规则的严格思维，而是运用合理的推理和拟真推理进行教学；第二，设计教学活动过程必须联系学生的情感、意志、水平，使学生在兴奋状态下经历潜伏――存疑――豁然开朗的过程，也就是提出问题――试一试――不断偿试中增强信心）――下决心证明――得到正确结果的过程；第三，构成活动情节的类型有：（1）概念的形成过程；（2）方法的思考过程；（3）结果的探究过程。教学上应按这样的过程去设计教案，才能达到数学情景教学的目的。
实施情景教学的具体做法
数学情景教学的实施大致可以用如下框图进行：
下面就以等差数列求和公式一课为例加以说明。
创设问题情景。是指提出能激发学生学习兴趣和求知欲，学生自己能够理解和解决的问题，其中包括日常生活的实际问题、数学趣味问题或已学过的旧知识等。这符合“学习始于问题”这一正确的看法。如在讲授等差数列的求和公式时，我在黑板上写下：1+2+3+ 100=？并向学生讲述这是大数学家高斯小时候解决的问题，将此故事简单的叙述一遍，然后请同学们也来试一试，此时学生情绪高涨，很快进入角色并把结果5050计算出来。
尝试学习。是指在教师的指导下，通过自己的尝试，探究问题的解决。尝试的目的是让学生自己动手动脑，以主动的恣态参与学习知识的全过程，接着提出这样的问题：若 为等差数列，求 你们会做吗？学生齐答：“不会”。教师指出：这个回答不全面（此时学生很惊呀，半信半疑，处于求知状态），并反问学生： 你们不是会做吗？学生恍然大悟，并开绐积极思考这个问题。
3、铺垫探究。是指学生处于尝试学习的时候，可能会遇到一些疑点和难点，为了帮助学生克服这些难点，教师给出的一些铺垫，主要是帮助学生在新旧知识结构之间搭桥铺路、扫出障碍、弥补缺漏，自然而然地过渡到学习新知识的情景之中。在学生思考 的求法时教师演示幻灯：
你们是如何求 的？
等差数列有何特征？
这样 就呼之欲出，很快就自己得出等差数列的求和公式：
进一步铺垫，可使教学活动情节表现得更加生支有效。继续提问：你们还能得出 的其他公式吗？这时学生的思维又一次被调动起来，头脑处于兴奋状态，进入解决问题的高潮。
4、解决问题。这是情景教学的最后阶段，是整节课的高峰期。处于兴奋状态的学生自己动脑、动手去解决他们想解决而未解决的问题，因而思维特别活跃，对问题急于弄个水落石出。因而教师此时应用鼓励的目光和语言去帮助学生，使他们顺利解决问题，在等差数列的求和教学中除了发现学生推出了课本上已有的公式 以外，还发现部分学生推出了课本上没有的公式： 。
情景教学在数学教学中的意义
根据多年的教学法情况看，使用情景教学法至少有如下好处：
1、数学情景教学一开始就提出了对全堂课起关键作用的、学生自己能够解决的、富有挑战性的问题，激发学生的浓厚兴趣并以积极的态度去解决所提出的问题，这就形成了在迫切要求学习的情景，为后面课的展开奠定了良好的基础。
2、创设了问题情景。问题是思维的出发点，有了问题才会去思考，对学生来说提出一些他们想解决而未解决的、富有挑战性、趣味性的问题更能激发学生的向心力，促使他们积极思考。
3、从实施过程来看，全体学生真正做到了动手、动脑、动口，积极参与教学的全过程，从不自觉到自觉地发挥了他们的思维能力和创造能力。
4、在教学中使以学生为主体，教师为主导的教学原则得到了很好的贯彻。学生的学习是主动的学习，始终贯穿着学生的自主活动，充分发挥了学生在学习班过程中的主体作用。让学生真正成为学习的主人，使他们去探索、去发现、去获取，其结果使教学系统中的教与学控制在最佳状态――差生在练习中及时得到帮助，中等以上的学生也有进一步发挥的机会，从而教师更能从中了解学生的实际情况并及时调节教学环节。
5、数学情景教学重视发展学生的思维训练，能让学生越学越聪明。情景教学强调概念的形成过程、解题的分析思考过程和规律的揭示过程，常把学生的思维集中到问题的探索研究上来，就是连差生也容易想进去，学进去，从中尝到思考的乐趣。逐步爱上数学，真正做到把兴趣还给学生，把魅力还给数学。
在文科班学生的眼中，数学复习课是非常枯燥无味的，没有了新课的新鲜感，只有不停重复的知识点和变化多端的题型，自觉性差一点的学生很有可能在课堂上睡着.我的想法是以语言的方式驱动教学，努力调动学生活跃的数学思维，尽可能地让学生多说，营造活跃的课堂氛围.
请教了几位同事之后，我在自己的教案里设置了十几个小问题，以提问的形式进行，由于较简单，学生配合得还不错.对于这样一道题“已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求满足f（2x-）
-
得到0
解题完全正确，但是我希望他可以解说一下解题过程，他却脸涨得通红，非常尴尬.我帮他分析了图像的由来，由偶函数的对称性知函数在整个定义域内的单调性，可以画出形如二次函数的草图，结合图像可得以上不等式.其实，整个过程并不复杂，只要点一下图像即可，但他那通红的脸却让我不是滋味.
课后，这位同学找到我，他说：老师，我没想到你会让我讲，这让我很紧张，我只会写，以后能不能不要让我讲呢？我没想到他竟然这么排斥用语言解释他的思路.他走后，师父在一旁看出我的困惑，指点说：他们不知道“说思路”的好处，当然不愿意讲.你如果让他们感觉到这个好处，就能慢慢接受了.师父的一番话点醒了我，我只求自己的课堂活跃，让自己感觉很好，对学生而言，似乎没什么帮助，他们当然不乐意改变了.看来接下来我要让他们体会到“说数学”的好处了.
一、“说过程”能让思路更清楚
在接下来的课中，遇到这样一道题：
在ABC中，AB=2，=，求S的最大值.
解：设BC=a
cosC==
S=AC・BcsinC=a=
令y=-a+24a-16=-（a-12）+128，故y=128
S=×=2
这个方法，学生比较容易想到，但具体操作起来却是相对复杂的函数求最值的问题，对函数掌握要求较高，于是我提问有没有其他解法.一位成绩较好的同学给出了如下解答.
解：以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），设C（x，y）到AB的距离为|y|
由题意==，化简得（x-3）+y=8
y=2
S=×AB×|y|=2
他在解答过程中，基本就是直接读出过程，我并没有着急评讲，而是问他为什么会想到用建系来做？他竟然告诉我不记得当时是怎么想的了，其他学生大笑.于是我赶紧抓住机会，对他们说：很多同学做题会有这样的感觉，状态好的话能灵光一闪想到好点子，但有时候却怎么也想不到，特别在考试时好像是在碰运气.立即很多同学附和说：是的，经常有这样的情况发生.然后我就问他们：你们真觉得这是碰运气吗？学生不语.答案当然不是，那么怎么样才能让自己保持良好的状态呢？这需要我们形成良好的思维方式.以这道题来说，条件没什么可挖掘的，必须从结论出发，求面积一般哪些方法？学生答：S=absinC（公式一），或者S=ah（公式二）.正好发现两位同学的解答就是这两种不同的出发点.方法一就是根据公式一，需要求出sinC，于是转化成函数求最值.而方法二呢？学生开始回答，底是定值，求面积的最大值就是求高的最大值，就需要求点的轨迹.经过这样分析，学生觉得本以为很难的题目也是水到渠成.那么我刚才讲的思维方式就是，从条件入手，看看能否继续挖掘出其他有价值的条件，然后再从结论入手，知道自己的目标在哪？这个目标能不能简化点，将条件结论结合，基本都能得到.所以在以后的解题过程中，多问问自己这几个问题就是思维的形成过程.这就是让大家“说过程”的目的，不仅可以让你自己目标明确，而且可以和大家分享你精彩的思维过程.说完这些，我看到不少同学都默默地点了点头.
果然，在接下来的课堂上，越来越多的同学愿意“说过程”了，课堂气氛更活跃了.学生为了能在课堂上更好地发挥，课后也做了充分准备，调动了学习的积极性.
二、“说知识”能更好地串联知识结构
“说数学”不仅是“说过程”，还包括“说知识”和“说体会”，给学生“说数学”的机会，让学生可以与他人分享自己的思维成果，不断走向数学学习的成功，激发他们用一颗执著的心开拓自己的数学新天地.学生的解题透露了老师所需的重要信息，根据他们的解答可预测他以后的学习动机和行为，此时老师就可以因材施教了.
以下面这道题为例，由于解法较多，学生回答很踊跃，我将之归纳如下.
例：{a}为等差数列，前n项和为S，且S=100，S=10，则求S.
方法一：基本量思想.
方法二：S，S-S，S-S，…，S-S成等差，公差为d，
故S-10=S+10d=100+10d.
S=S+（S-S）+…+（S-S）=×11
d=-22即S=-110
方法三：S-S=a+a+a+…+a=×90=-90
a+a=-2
S=×110=×110=-110
这三种方法都是数列中常见的找基本量的关系，整体代换，学生较容易想到.当我再次询问有没有其他解法的时候，一个学生高高地举起手来，解答如下.
方法四：根据等差前n项和，可看成关于n的二次函数，设S=An+Bn，
则S=100A+10BS=10000A+100B，得S=-110.
这是结合数列是一种特殊函数，用待定系数解决问题.经过比较，函数的方法运算相对较简单，也体现了知识点之间的联系.学生的兴趣一下子被激发出来，大家议论纷纷.没多久，又有学生提出有更好的方法.
方法五：由上面的方法四，可知为等差数列，故=+90d，
得d=-，=+10d=-1，则S=-110.
能根据等差前n项和，可看成关于n的二次函数，推出为等差数列，这是非常漂亮的发现，说明大家把数列与函数相互结合得非常好了.我和学生都很开心，回顾整个过程，总结一下，a与n，S与n都是函数关系，题目中若研究这两者可适当考虑以上解法.为了加强这方面的运用，我决定让他们解决下面这个问题：“等差数列{a}的前n项和S，若Sn=（S）对一切n恒成立，求{a}的通项公式.”
学生有如下两种解法：
方法一：S =（S）即na+d=na++n（n-1）ad
即n+（a-）n=n+（ad-）n+（-ad+a）n
得=ad-=0a-=-ad+a=0
d=0a=0或d=0a=1或d=2a=1
a=0或a=1或a=2n-1
方法二：设S=An+Bn
S =（S）即An+Bn=An+Bn+2ABn
得A=AB=BAB=0
A=0B=0或A=0B=1或A=1B=0
a=0或a=1或a=2n-1