高中数学中数列求和问题的探究

摘 要：数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，等差数列和等比数列有固定的求和公式，其余大部分数列的求和都需要一定的技巧。

关键词：学生；知识；数学思想

数列在高中数学中具有举足轻重的作用，在高考中不仅会通过小题考查该知识点，大题也常常会出现，数列的解法虽然复杂但并不难，往往都有相似的题型可以参考，掌握数列的题型是我们能够正确解题的基础，在此基础上举一反三才能融会贯通，遇到题目不慌不忙找出正确的解题思路。下面，我们从高考数学以及数学竞赛试题出发，来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

一、利用等差、等比数列求和公式

这是数列求和的基础所在，数列求和的主要公式可以分为三大类：等差数列求和公式、等比数列求和公式、常用的数列求和公式，为更复杂的题目打好基础：

例1：已知log3x= ，求x+x2+…+xn+…的前n项和。

首先通过log3x= 解得x= 。

由等比数列求和公式x+x2+…+xn+…

Sn=x+x2+…+xn+…= =1-

二、错位相减法求和

错位相减主要是用于等差数列等比数列相乘的一个情况an？鄢bn，其中an为等差数列，bn为等比数列，可以利用等比数列的性质对数列进行变化，构造相同项。

例2：求和：Sn=x+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1……1

解：由题目可知，（2n-1）xn-1是2n-1等差数列和xn-1 等比数列的通项之积。

设xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn……2用1-2可以得到

（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-（2n-1）xn （错位相减）

最后利用等比公式求和：（1-x）Sn=1+2x？鄢 -（2n-1）xn

所以得到Sn=

三、反序相加法求和

这个方法主要是将一个数列倒过来排序，将这个倒过来的数列与原数列相加，就可以得到一个n倍的（a1+an）。

例3：求证c0n+3c1n+5c2n+…+（2n+1）cnn=（n+1）2n

证明：设Sn=cn0+3cn1+5cn2+…+（2n+1）cnn……1，利用cmn= cnn-m将1式右边调转过来得Sn=（2n+1）c0n+（2n-1）c1n+…+3cnn-1+cnn ……2，将式1与式2相加得到2Sn=（2n+1）（c0n+c1n+…cn-1n+cnn）=2（n+1）？鄢2n，所以Sn=（n+1）2n

四、分组相加法求和

分组求和法是应用于既不是等差也不是等比的数列，但是通过适当的拆分可以将该数列分为等差和等比数列，再利用公式分别对这些变量求和，最后加总到一起。

例4：求盗械那n项和：1+1， +4， +7，… +3n-2，…

解：设Sn=（1+1）+（ +4）+（ +7）+…+（ +3n-2）将每一项拆开重新组合可以得到Sn=（1+ + +…+ ）+（1+4+7+…+3n-2） 当a=1时，Sn=n+ = ，当a≠1时，Sn= + = + 。

五、裂项相消法求和

裂项相消是将每一项分解再重新组合，再分解的过程中可以消去部分项，再将最后的部分加总。

例5：求数列an中，an= + +…+ ，又bn= ，求数列bn的前n项和。

解：an= + +…+ = ，得到bn= = =8（ - ）数列bn的前n项和Sn=8[（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]=8（1- ）=

六、分段求和法（合并法求和）

分段求和是因为数列中部分项合并在一起可能会有特殊的性质。

例6：数列an：a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an+1-an，求S2002。

解：设S2002=a1+a2+a3+…+a2002由a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an-1-an，可得a4=-1，a5=-3，a6=-2…

七、利用数列通项法求和

根据数列的结构找出数列的特征，再根据这些特征利用公式求解。

例7：求1+11+111+…+111…1之和

解：可以将111…1=

原式1+11+111+…111…1

以上就是数列求和的全部方法，数列求和的技巧看起来可能略多，不好理解，甚至解题之后会出现对应不起来的现象。但只要多做，做完题目后多多思考，多与案例相联系，就一定能够熟练掌握，在考场上做到不慌不忙，运筹帷幄。

参考文献：

[1]丁建.数列求和的几种重要方法[J].数理化解题研究（高中版），2011（8）：15-16.

[2]何莹.数列求和的常用方法[J].数理化学习（高中版），2011（Z1）：35-39.