导数在实际问题中的应用举例

在实际生活中,常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题,这类问题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题,而导数是求最值的常用工具。因此,熟练应用导数解决实际应用问题就非常重要。以下通过几个例子来谈一谈。

【例1】 某小区为了提高居住生活环境,打算修建一矩形花园(如图1),花园的边长AB=24,AD=25,计划在花园内修建三条步行直道EF,B1E和B1F,要求点B1与点B关于EF对称,已知直道EF=l,BEEF=t,记l关于t的函数为l=f(t),试求:

(1) 函数f(t)的解析式；

(2) 函数f(t)的定义域；

(3) l的最小值．

解 (1) 设∠BFE=θ,则t=sinθ．

由于∠B1FE=∠BFE=θ,

∠FB1E=∠FBE=π2,

则∠AB1E=π-2θ-π2=π2-2θ,

即∠AEB1=2θ．

而BE=lsinθ,AE=B1Ecos2θ=lsinθcos2θ,AE+BE=AB=6,

所以lsinθ+lsinθcos2θ=24,

解得l=24sinθ+sinθcos2θ=24sinθ(1+cos2θ)

=24sinθ(2-2sin2θ)=12sinθ(1-sin2θ).

故l=f(t)=12t-t3．

(2) 因为tanθ=BEBF,故当点E与点A重合时,tanθ=BEBF=1．

当点E向右运动时,BE长度变小,为保持点B1在边AD上,则点F要向上运动,从而BF的长度变大,则tanθ就变小,当点F与点C重合时,tanθ取得最小值．

又当点F与点C重合时,有25tanθ+25tanθcos2θ=24,即12tan2θ-25tanθ+12=0,解之得tanθ=34或tanθ=43(舍).所以tanθ∈34,1,又θ是锐角,所以sinθ∈35,22．

综上,函数f(t)的定义域为t∈35,22．

(3) 记g(t)=t-t3,t∈35,22,因为g′(t)=1-3t2

点评 本题是必修四P109第十题改编。三角函数的应用题考查也是高考命题的热点之一,在导数和三角的交汇点处命题将是高考命题的一个方向。

图2

【例2】 一走廊拐角处的横截面如图2所示,已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧,AB、DC分别与圆弧BC相切于点B、C两点,EF∥AB,GH∥CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m,

(1) 若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上,且木棒与内壁圆弧相切于点P,设∠CMN=θ(rad),试用θ表示木棒MN的长度f(θ)；

(2) 若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,试求木棒长度的最大值.

解 (1) 如图2,设圆弧FG所在的圆的圆心为Q,过Q点作CD垂线,垂足为点T,且交MN或其延长线于S,并连接PQ,再过N点作TQ的垂线,垂足为W．

在RtNWS中,因为NW=2,∠SNW=θ,所以NS=2cosθ．

因为MN与圆弧FG切于点P,

所以PQMN,

在RtQPS中,因为PQ=1,∠PQS=θ,

所以QS=1cosθ,QT-QS=2-1cosθ,

①若S在线段TG上,则TS=QT-QS,

在RtSTM中,MS=TSsinθ=QT-QSsinθ,因此MN=NS+MS=NS+QT-QSsinθ．

②若S在线段GT的延长线上,

则TS=QS-QT,

在RtSTM中,MS=TSsinθ=QS-QTsinθ,因此MN=NS-MS=NS-QS-QTsinθ=NS+QT-QSsinθ．

f(θ)=MN=NS+QT-QSsinθ

=2cosθ+2sinθ-1sinθcosθ

=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ0

(2) 设sinθ+cosθ=t(1

则sinθcosθ=t2-12,

因此f(θ)=g(t)=4t-2t2-1.

因为g′(t)=-4(t2-t+1)(t2-1)2,又1

因此函数g(t)=4t-2t2-1在t∈(1,2］是减函数,所以g(t)min=g(2)=42-2,

即MNmin=42-2．

所以,一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为42-2.

点评 导数为求函数的最值、单调性、极值等提供了新的方法,在解题的时候要注意这一方法的应用。

实战演练

1. 做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,问锅炉的直径与高的比为多少时,造价最低？

2. 如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面,已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比,比例系数为k(k>0)．

(1) 试将水槽的最大流量表示成关于θ的函数f(θ)；

(2) 求当θ多大时,水槽的最大流量最大．

【参考答案】

1. 设底面半径为r,高为h,则V=πr2h,

故有h=Vπr2,设造价为f(r)，则

f(r)=2πr2a+2πrhb=2πr2a+2πrb•Vπr2=2πr2a+2bVr，

求导数,得f′(r)=4πar3-bV2πar2，

令f′(r)=0解得r=3bV2πa.

当r∈0,3bV2πa时,f′(r)0,因此,r=3bV2πa时,f(r)最小,此时r3=bV2πa=bπr2h2πa,故2rh=ba,即锅炉造价最低时,底面直径与高之比是ba.

2. (1) 由题意得：f(θ)=k•12•(a+a+2acosθ)•asinθ=ka2(1+cosθ)sinθ，其中0

=ka2(2cos2θ+cosθ-1).

令f′(θ)=0得cosθ=-1或cosθ=12.又因为0

而f(θ)在0,π3上递增,在π3,π2上递减,当θ=π3时水槽的最大流量最大．