集合易错题剖析

集合是学习数学的基础和工具，是高考的必考内容之一.由于它涉及到中学数学的各个环节,稍不注意,就会出错.为了跳出命题者所设计的陷阱,就必须注意集合中的一些细节.

一、 忽视空集致误

【例1】 若A=xx2－2x－3=0,B=xax－2=0,且A∩B=B,求由实数a组成的集合C.

错解 由A=xx2－2x－3=0,解得A=－1,3.A∩B=B，BA，

从而B=－1或B=3.当B=－1时,由a×(－1)－2=0,解得a=－2；

当B=3时,由a×3－2=0,解得a=23.

故由实数a组成的集合C=－2,23.

剖析 BA是指B是A的子集,而是任何集合的子集,所以就要分B=和B≠（分为B=－1和B=3）三种情况进行讨论,在解题中如果思维不够缜密就可能忽视了B=的情况,导致解题结果错误.

正解 由A=xx2－2x－3=0，解得A=－1,3

A∩B=B，BA，且B中至多只有一个元素，从而B=或B=－1或B=3.

当B=时，由ax－2=0无实数根，解得a=0;当B=－1时，由a×(－1)－2=0，解得a=－2;当B=3时，由a×3－2=0，解得a=23.

综上所述，实数a组成的集合C=－2,0,23.

二、 忽视集合元素的三性致误

【例2】 设A=1,1+a,1+2a,B=1,b,b2,若A=B,求b的值.

错解 因为A=B，所以1+a=b,1+2a=b2.或1+a=b2,1+2a=b.解得a=0,b=1或a=－34,b=－12，

综上所述:b=1或b=－12.

剖析 上述错题的过程中，没有注意到当b=1时,B中元素都是1,这与集合的特征――元素的互异性相矛盾.所以在求解集合的有关题目时,我们要牢记集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.

正解 因为A=B，所以1+a=b,1+2a=b2.或1+a=b2,1+2a=b.

解得a=0,b=1或a=－34,b=－12综上所述:b=1或b=－12.

当b=1时，B中元素都是1，集合元素的互异性相矛盾，舍去;

当b=－12时，满足题意.

综上所述，b=－12.

三、 忽视元素与集合的概念致误

【例3】 设P=y|y=x2,x∈R,Q={y|y=2－|x|,x∈R}，则P∩Q=.

错解 由y=x2，y=2－|x|.解得x=1,y=1. 或x=－1,y=1.

P∩Q=(1,1),(－1,1).

剖析 本题错解是由于没有准确理解集合元素的概念而产生的.要注意分清{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},{(x,y)|y=f(x)}元素的区别,集合x|y=f(x)的元素是指函数y=f(x)的定义域中x的取值,集合{y|y=f(x)}的元素是函数y=f(x)的值域中y的取值,而集合(x,y)|y=f(x)的元素是函数y=f(x)的图象上的点的坐标.显然,三者有本质的区别.

正解 因为P=y|y≥0,Q={y|0≤y≤2},所以P∩Q=y|0≤y≤2.

四、 忽视隐含条件致误

【例4】 设全集U=2，3，a2+2a－3,A=2a－1，2,

UA=5,求实数a的值．

错解

UA=5,5∈U，且5A，a2+2a－3=5，

解得 a=2或a=－4．

剖析 错解在于忽视了题目里的隐含条件AU．

正解

UA=5,5∈U，且5A，a2+2a－3=5,

解得 a=2或a=－4.

应继续对a的值是否适合AU进行验证，

当a=2时，2a－1=4－1=3≠5，此时A=2，3U;

当a=－4时，2a－1=－8－1=9≠5，此时A=9，2不是U的子集,

综上所述，a的值只能为2.

五、 忽视特例致误

【例5】 已知A=(x,y)y－3x－2=a+1,B=(x,y)|(a2－1)x+(a－1)y=15，问a为何实数时，A∩B=.

错解 A表示斜率为a+1的直线上的点集.当a=1时,B表示，此时A∩B=;

当a≠1时,B表示斜率为－(a+1)的直线:y=－(a+1)x+15上的点集,要使A∩B=,

则两直线平行,即a+1=－(a+1),所以a=－1,

所以a=±1时,A∩B=.

剖析 A表示的直线不经过点(2,3),当B表示的直线过点(2,3)时,A∩B=.显然,上述解答忽视了这种特殊情况,造成解答不完全.由(a2－1)•2+(a－1)•3=15得a=－4或52.

正解 A表示斜率为a+1的直线上的点集,当a=1时,B表示，此时A∩B=;

当a≠1时,B表示斜率为－(a+1)的直线:y=－(a+1)x+15上的点集,要使A∩B=,

则两直线平行,即a+1=－(a+1),所以a=－1;

当A表示的直线不经过点(2,3),当B表示的直线过点(2,3)时,A∩B=，

(a2－1)•2+(a－1)•3=15得a=－4或52,

综上所述，当a=±1,a=－4,a=52时，A∩B=.

六、 忽视端点值致误

【例6】 已知集合A={x|x≥4或x

错解 由A∪B=A得BA,

a+3≤－5或a+1≥4，解得a≤－8或a≥3．

剖析 上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a=－8时，B=x－7≤x≤5，此时B不是A的子集，所以不符合题意.所以在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．

正解 由A∪B=A得BA.

当a+34时，解得a3;

当a+3=－5时，a=－8，而B={x|－7≤x≤5}，此时B不是A的子集，所以舍去;

当a+1=4时，a=3，而B={x|4≤x≤6}成立，符合条件,

综上所述：a

牛刀小试

1. 已知集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R}，B=xx>0,若A∩B=，求a的取值范围．

2. 设集合A=－3,a2,1+a,B={a－3,a2+1,2a－1},若A∩B=－3，求实数a的值.

3. 设A，B，M，N为非空集合，A∩B=，M=A的真子集，N=B的真子集，则M∩N=．

4. 已知函数y=f(x)，x∈a,b，那么集合(x,y)y=f(x),x∈a,b∩{(x,y)|x=2}中元素的个数为．

5. 设集合Ｍ＝(x,y)y+1x－1=1,Ｎ＝{(x,y)|(a－1)x+y=1},且M∩N=，则实数a= ．

6. 若A=xx10，B={x|x1+m}且BA，求m的取值范围.

【参考答案】

1. 由A∩B=知，

①当A=时，Δ=a+22－4

解得－4＜a＜０;

②A中的元素为非正数，即方程

x2+(a+2)x+1=0,只有非正数解．

Δ=a+22－4≥0,a+2≥0.解得 a≥0，

综上可得 ：a>－4.

2. 由A∩B=－3，根据集合元素的互异性知：a2≠－3,1+a≠－3.

因而a－3,a2+1,2a－1中恰有一个的值为－3，解之得a=0或a=－1.

当a=0时，A=－3,0,1,B={－3,1,－1}，这时A∩B={－3,1}，与A∩B=－3矛盾，

故a≠0；

当a=－1时，A=－3,0,1,

B={－3,－4,2}，符合条件A∩B=－3，

综上可得 ：a=－1.

3. M∩N=．

4. 1或0.

5. 0或3.

6. 因为BA，所以：1－m≤－2,1+m≥10.m≥9.