题常新 韵长久

一、 集合

纵览各种有关集合的新题，大致可分三类：（一） 集合概念的理解与证明；（二） 集合语言的理解与转化；（三） 集合中的新定义问题.

（一） 集合概念的理解与证明

【例1】 设M={x|f(x)=x}，

N=xff(x)=x.

（1） 求证：MN.

(2) 当f(x)为单调递增函数时，是否有M=N？证明之.

点评 这类问题的创新点在于其抽象，给人感觉陌生而新鲜.但究其本质即为定义证明，因而只要我们抓住定义、围绕定义问题即可迎刃而解.如本题中的MN要围绕子集的定义即对于两个集合M和N，如果集合M中的任何一个元素都是集合N的元素，则集合M是集合N的子集.当然，证明中要有分类讨论的意识，注意对集合特别是的讨论.

解析 （1） ①若M=，则MN；②若M≠，则存在x1∈N，使fx0=x0，由题ffx0=fx0=x0，所以x0∈N，故MN.

（2） 由题M=N，下用反证法证明.

假设M≠N，则MN.设x1∈N，而x1M，则fx1≠x1.

①若fx1>x1，则ffx1>fx1，即x1>fx1，矛盾；

②若fx1

（二） 集合语言的理解与转化.

【例2】 设集合A=(x,y)m2≤(x－2)2+y2≤m2,x,y∈R，B=(x,y)2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R，若A∩B≠，则实数m的取值范围是.

点评 这类问题的创新点在于用集合语言描述数学知识.解决其关键就是将集合语言翻译成我们熟悉的数学问题，并注意利用其他各章节的知识解题，如将本题中的集合A、B、A∩B≠翻译成对应的几何意义，利用直线与圆的位置关系解题.

解析 由题A∩B≠知A≠，因此

m2≤m2，得m≥12或m≤0.下对m讨论.

①若m=0，点(2,0)显然不在区域

0≤x+y≤1内，所以m≠0；

②若m≠0，要使A∩B≠，则只需圆(x－2)2+y2=m2与x+y=2m或x+y=2m+1有交点，利用圆心与直线的距离有2－2m2≤m或1－2m2≤m，解得2－22≤m≤2+2，

即12≤m≤2+2.综上，12≤m≤2+2.

（三） 集合中的新定义问题.

【例3】 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k=5n+kn∈Z，k=0,1,2,3,4，给出如下四个结论①2011∈1；②－3∈3；③Z=0∪1∪2∪3∪4； ④“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈0”.其中正确的结论是.

点评 这类问题的创新点在于以集合为背景，给出一个新的定义.对于集合新定义问题，解题关键是读懂题目，弄清新定义概念的含义，如本题中的“类”的意义所指.

解析 所谓k“类”即被5除所得余数为k的所有整数的集合.下用新定义解题.

①2011被5除余1，满足；②－3被5除余2，不合；③任一整数被5除余数必为0，1，2，3，4中之一，满足；④充分性：若整数a，b属于同一类，设a=5n1+k，b=5n2+k，则a－b=5n1－n2，满足a－b∈0；必要性：若a－b∈0，设a－b=5n，不妨设b=5m+k，则a=5m+5n+k，满足整数a，b属于同一类.故正确结论是①③④.

二、 简易逻辑

简易逻辑是集合的另一种数学语言，因此语言转化是其解题的关键.纵览各种有关简易逻辑的新题，大致可分三类：（一） 充要条件的推理与反例；（二） 充要条件的理解与转化；（三） 四种命题、全称量词和存在量词的理解与转化.

（一） 充要条件的推理与反例

【例4】 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记(a,b)=a2+b2－a－b，那么(a,b)=0是a与b互补的条件.

点评 这类问题的创新点在于在全新的、抽象的背景下研究充要条件.对于充要条件的研究正确推理和列举反例是首要方法.

解析 答案为充要条件，正确推理是关键.若(a,b)=0，则a2+b2=a+b，平方得ab=0，且a≥0，b≥0，故a与b互补；若a与b互补，则a≥0，b≥0且ab=0，即a=0，b≥0或b=0，a≥0，此时都有(a,b)=0，充要条件得证.

（二） 充要条件的理解与转化

【例5】 已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤1}，B={(x,y)|x2+y2≤r2,r>0}，若“点(x,y)∈A”是“点(x,y)∈B”的必要条件，则r的最大值是.

点评 推理难，背景复杂是这类充要条件新题的难点.对于这种推理难，背景复杂的问题，理解题意并进行等价转化是解题的关键，当然也是充要条件研究的另一种有效方法.

解析 充分不必要条件可等价转化为结论是条件的子集，必要条件即条件是结论的子集，因而例5可利用B是A的子集解题，即圆面x2+y2≤r2在正方形区域x+y≤1内，显然相切时r取得最大值；从另一个角度讲，充分不必要条件也可等价转化为在条件下结论恒成立.

（三） 四种命题、全称量词和存在量词的理解与转化

【例6】 已知条件p：2xx－10.若

p是

q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.

【例7】 已知函数f(x)=x2，g(x)=12x－m，若对x1∈［－1,3］，x1∈［0,2］，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是.

点评 与四种命题、全称量词和存在量词有关的新题往往是符号复杂，难懂，如例6中的

p是

q的必要不充分条件，例7中的，，使得f(x1)≥g(x2)等.解决问题的关键是理解题意，利用命题的等价关系进行命题转化，利用全称量词与存在量词的意义进行最值转化.

解析 利用原命题与逆否命题的等价性，例6中

p是

q的必要不充分条件可转化为p是q的充分不必要条件，即p是q的子集，问题迎刃而解；例7利用存在性与任意性对问题进行最值转化，即任意性与恒成立等价，存在与有解等价.因而x1∈［－1,3］，x1∈［0,2］，使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)在［－1,3］上的最小值大于等于g(x)在［0,2］的最小值，即0≥14－m，解得m≥14.

考虑了很少的那几样东西之后,整个的事情就归结为纯几何,这是物理和力学的一个目标。―莱布尼茨

牛刀小试

1. 设集合M={y|y=|cos2θ－sin2θ|,x∈R}，

N=xx－1i

则M∩N=.

2. 已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l和α1，α2，α3分别相交于P1,P2,P3，那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的 条件.

3. 设x,y∈R，则“x≠2或y≠2”是“x2+y2≠8”的条件.

4. 设函数f(x)=ax3－3x+1(x∈R)，若对于x∈［－1,1］，都有f(x)≥0成立，则实数a=．

【参考答案】

1. 0,1 提示:将集合语言分别转化三角函数值域和复数的模.

2. 充分必要 提示：正确推理是解题关键.

3. 必要不充分 提示：利用原命题与逆否命题的等价性进行转化更利于解题.

4. 4 提示：利用全称量词意义进行最值转化.